计算由旋转抛物面z=x平方+y平方和平面z=1所围成的立体的体积 50
立体的体积是π/2。
v=4∫【d】∫（1-x^2-y^2)dσ
=4∫【0→1】[∫（【0→√（1-y^2)】（1-x^2-y^2)dx]dy
=4∫[【（0→1】）∫【0→√（1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]
=4∫[【（0→1】）[√（1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√（1-y^2)]dy
设y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2，
原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt
=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt
=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】
=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]
=π/2
计算方法
长方体：长方体体积=长×宽×高
正方体：正方体体积=棱长×棱长×棱长
圆柱（正圆）：圆柱（正圆）体积=圆周率×(底半径×底半径)×高
以上立体图形的体积都可归纳为：底面积×高
圆锥（正圆）：圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高/3
角锥：锥体积=底面积×高/3
v=4∫【d】∫（1-x^2-y^2)dσ
=4∫【0→1】[∫（【0→√（1-y^2)】（1-x^2-y^2)dx]dy
=4∫[【（0→1】）∫【0→√（1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]
=4∫[【（0→1】）[√（1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√（1-y^2)]dy
设y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2，
原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt
=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt
=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】
=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]
=π/2
扩展资料
棱柱体表面积：S=S侧+ 2*S底
圆柱体表面积：S=U底*h + 2πR^2=2πR*h + 2πR^2
（“U底”为底面圆的周长，R为底面圆的半径）
棱锥体表面积：S=n*S侧(三角形) + S底（n为棱锥的斜棱条数，即侧面数）
圆锥体表面积：S=S扇 + S底=1/2*L(母线)*2πR + πR^2
棱台体表面积：S=n*S侧(梯) + S上底 + S下底（n为棱锥的棱条数，即侧面数）
圆台体表面积：S=S侧(扇环) + S上底 + S下底=π(r^2+R^2+rl+Rl)=πr^2+πR^2+πrl+πRl
注：设r为上底半径，R为下底半径，L为圆台母线；虚设a 为小扇形母线，则大扇形母线长为（a+L）
2∫πx³dx=π/2
划线的这一步是怎么得来的
