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总结高一数学必修函数的所有知识
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一、函数的概念与表示
1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且 ∈R的分式;
④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
四.函数的奇偶性
1.定义: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为奇
函数。
2.性质:
①y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ,D2,D1∩D2要关于原点对称]
3.奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义:
2 设 是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则 在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则 在M上是增函数。
函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6. 常用的函数表示法及各自的优点:
○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○2 解析法:必须注明函数的定义域;○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 (睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 。
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
○1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2 作差f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是因式分解和配方);○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数 单调性
u=g(x) 增 增 减 减
y=f(u) 增 减 增 减
y=f[g(x)] 增 减 减 增
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2 确定f(-x)与f(x)的关系;○3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函数的最大(小)值○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *.
当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数.此时, 的 次方根用符号 表示.式子 叫做根式(radical),这里 叫做根指数(radical exponent), 叫做被开方数(radicand).
当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。
注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(1) ? ;
(2) ;
(3) .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ,总有 ;
(4)当 时,若 ,则 ;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)
说明:○1 注意底数的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意对数的书写格式.
两个重要对数:
○1 常用对数:以10为底的对数 ;
○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .
2、 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
(二)对数的运算性质
如果 ,且 , , ,那么:
○1 ? + ;
○2 - ;
○3 .
注意:换底公式
( ,且 ; ,且 ; ).
利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○2 对数函数对底数的限制: ,且 .
2、对数函数的性质:
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;
(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3、函数零点的求法:
求函数 的零点:
○1 (代数法)求方程 的实数根;
○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数 .
1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点
1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且 ∈R的分式;
④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
四.函数的奇偶性
1.定义: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为奇
函数。
2.性质:
①y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ,D2,D1∩D2要关于原点对称]
3.奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义:
2 设 是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则 在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则 在M上是增函数。
函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6. 常用的函数表示法及各自的优点:
○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○2 解析法:必须注明函数的定义域;○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 (睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 。
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
○1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2 作差f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是因式分解和配方);○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数 单调性
u=g(x) 增 增 减 减
y=f(u) 增 减 增 减
y=f[g(x)] 增 减 减 增
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2 确定f(-x)与f(x)的关系;○3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函数的最大(小)值○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *.
当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数.此时, 的 次方根用符号 表示.式子 叫做根式(radical),这里 叫做根指数(radical exponent), 叫做被开方数(radicand).
当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。
注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(1) ? ;
(2) ;
(3) .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ,总有 ;
(4)当 时,若 ,则 ;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)
说明:○1 注意底数的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意对数的书写格式.
两个重要对数:
○1 常用对数:以10为底的对数 ;
○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .
2、 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
(二)对数的运算性质
如果 ,且 , , ,那么:
○1 ? + ;
○2 - ;
○3 .
注意:换底公式
( ,且 ; ,且 ; ).
利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○2 对数函数对底数的限制: ,且 .
2、对数函数的性质:
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;
(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3、函数零点的求法:
求函数 的零点:
○1 (代数法)求方程 的实数根;
○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数 .
1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点
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一、函数的概念与表示
1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且 ∈R的分式;
④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
四.函数的奇偶性
1.定义: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为奇
函数。
2.性质:
①y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ,D2,D1∩D2要关于原点对称]
3.奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义:
2 设 是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则 在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则 在M上是增函数。(希望采纳谢谢!)
1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且 ∈R的分式;
④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
四.函数的奇偶性
1.定义: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意 ∈A,都有 ,则称y=f(x)为奇
函数。
2.性质:
①y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ,D2,D1∩D2要关于原点对称]
3.奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义:
2 设 是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则 在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则 在M上是增函数。(希望采纳谢谢!)
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函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6. 常用的函数表示法及各自的优点:
○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○2 解析法:必须注明函数的定义域;○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 (睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 。
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
○1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2 作差f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是因式分解和配方);○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数 单调性
u=g(x) 增 增 减 减
y=f(u) 增 减 增 减
y=f[g(x)] 增 减 减 增
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2 确定f(-x)与f(x)的关系;○3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函数的最大(小)值○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *.
当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数.此时, 的 次方根用符号 表示.式子 叫做根式(radical),这里 叫做根指数(radical exponent), 叫做被开方数(radicand).
当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。
注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(1) ? ;
(2) ;
(3) .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ,总有 ;
(4)当 时,若 ,则 ;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)
说明:○1 注意底数的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意对数的书写格式.
两个重要对数:
○1 常用对数:以10为底的对数 ;
○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .
2、 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
(二)对数的运算性质
如果 ,且 , , ,那么:
○1 ? + ;
○2 - ;
○3 .
注意:换底公式
( ,且 ; ,且 ; ).
利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○2 对数函数对底数的限制: ,且 .
2、对数函数的性质:
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;
(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3、函数零点的求法:
求函数 的零点:
○1 (代数法)求方程 的实数根;
○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数 .
1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6. 常用的函数表示法及各自的优点:
○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○2 解析法:必须注明函数的定义域;○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 (睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 。
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
○1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2 作差f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是因式分解和配方);○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数 单调性
u=g(x) 增 增 减 减
y=f(u) 增 减 增 减
y=f[g(x)] 增 减 减 增
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2 确定f(-x)与f(x)的关系;○3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函数的最大(小)值○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *.
当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数.此时, 的 次方根用符号 表示.式子 叫做根式(radical),这里 叫做根指数(radical exponent), 叫做被开方数(radicand).
当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。
注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(1) ? ;
(2) ;
(3) .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ,总有 ;
(4)当 时,若 ,则 ;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)
说明:○1 注意底数的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意对数的书写格式.
两个重要对数:
○1 常用对数:以10为底的对数 ;
○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .
2、 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
(二)对数的运算性质
如果 ,且 , , ,那么:
○1 ? + ;
○2 - ;
○3 .
注意:换底公式
( ,且 ; ,且 ; ).
利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○2 对数函数对底数的限制: ,且 .
2、对数函数的性质:
a>1 0<a<1
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;
(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3、函数零点的求法:
求函数 的零点:
○1 (代数法)求方程 的实数根;
○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数 .
1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.
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