Question

如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为底边作等腰三角形△ADC,AD=CD=10,过点D作DE⊥AC

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边作等腰三角形△ADC，AD=CD=10,过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E,连接CE.
(1)求证：AE=CE=BE;
(2)若AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的一点．则当DP为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时△PBC 的周长。

Answer 1

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边作等腰三角形△ABC，AD=CD=10,过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E,连接CE.
(1)求证：AE=CE=BE;
(2)若AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的一点．则当DP为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时△PBC 的周长

三角形ADC为等腰三角形，DF⊥AC，所以DF为边AC中垂线，所以AE=CE
DF,BC⊥AC所以DF‖BC ，又因为F为边AC中点，所以FE为三角形ACB中位线，所以AE=BE 所以AE=CE=BE
当P、重合E点周长最小， 为15+9=24CM

Answer 2

证明：(1)∵ AD=CD  ， DE⊥AC

∴   △ADC为等腰△，且DF是底边AC 上的高，也是AC 上的中线，即AF=FC

∵  ,∠ACB=90°     DE⊥AC    ∴  EF//CB,  故AE=EB，即E是AB 的中点

又,△ABC是直角三角形，∴ CE=AE=EB

(2)  AB＝15 cm，BC＝9 cm   ,,△ABC是直角三角形

∴  AC=12 (勾股定理可求出)

连接 AP,∵ P是射线DE上的一点，FP⊥AC,   可知FP是AC的中垂线，即AP=PC

在△ABP中，AP+PB>AB  (△的2边和大于第三边)

∴  PC+PB>AB  ,即在射线DE上的一点PC处于E的位置时，PC+PB最小值=AB(∵BC是定值）

此时△PBC 的周长=BC+AP+PB=BC+AB=9+15=24cm

Answer 3

证明：(1)∵ AD=CD ， DE⊥AC
∴ △ADC为等腰△，且DF是底边AC 上的高，也是AC 上的中线，即AF=FC
∵ ,∠ACB=90° DE⊥AC ∴ EF//CB, 故AE=EB，即E是AB 的中点
又,△ABC是直角三角形，∴ CE=AE=EB
(2) AB＝15 cm，BC＝9 cm ,,△ABC是直角三角形
∴ AC=12
连接 AP,∵ P是射线DE上的一点，FP⊥AC, 可知FP是AC的中垂线，即AP=PC
在△ABP中，AP+PB>AB
∴ PC+PB>AB ,即在射线DE上的一点PC处于E的位置时，PC+PB最小值=AB(∵BC是定值）
此时△PBC 的周长=BC+AP+PB=BC+AB=9+15=24cm

Answer 4

（1）证明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质），
∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=AB2-BC2=152-92=12，
∵AD=CD=10cm，DE⊥AC，
∴F是AC的中点，
∴EF=12BC=12×9=4.5，AF=12AC=12×12=6，
∴DF=AD2-AF2=102-62=8，
∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm，
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC=12AB=152，即DP=DE=12.5cm时，△PBC的周长最小，
∴△PBC的最小周长=PB+PC+BC=15+9=24cm．

Answer 5

1）证明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质），
∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=

AB2-BC2
=

152-92
=12，

∵AD=CD=10cm，DE⊥AC，
∴F是AC的中点，
∴EF=

1
2
BC=

1
2
×9=4.5，AF=

1
2
AC=

1
2
×12=6，∴DF=

AD2-AF2
=

102-62
=8，

∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm，
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC=

1
2
AB=

15
2
，即DP=DE=12.5cm时，△PBC的周长最小，

∴△PBC的最小周长=PB+PC+BC=15+9=24cm．