Question

f(x)在（a,b）上具有二阶连续导数又 f'(a)=f'(b)=0 证明：存在u属于(a,b) f(u)<=4|f(a)-f(b)|/(b-a)^2

http://zhidao.baidu.com/question/282168619.html?an=0&si=6
这个会做了，现在要证明：f(x)不为常数时。可取到严格不等式。
f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数又 f'(a)=f'(b)=0 证明：存在u属于(a,b),| f''(u)|>=4|f(a)-f(b)|/(b-a)^2

Answer 1

你把命题完全修正对了我就告诉你怎么做

追问

书上的原题，有问题吗？

追答

即使你不知道要把开区间改成闭区间，至少也应该知道把f(u)=吧，你是看过另一个链接里的回答的。我看你提问不够认真才不给你解释。

既然你改好了我就给你解答一下

记 K = 4|f(a)-f(b)|/(b-a)^2
如果结论不成立，那么对于任何u属于(a,b)都有 |f''(u)| <= K
利用Lagrange中值定理
|f'(x)-f'(a)| = |f''(t)|(x-a) <= K，即|f'(x)| <= K(x-a)
记c=(a+b)/2，那么|f(c)-f(a)| <= \int_a^c |f'(x)|dx <= K \int_a^c (c-x)dx = |f(b)-f(a)|/2
同理，利用|f'(x)| <= K(b-x)也能得到|f(b)-f(c)| <= |f(b)-f(a)|/2
所以|f(b)-f(a)| <= |f(b)-f(c)|+|f(c)-f(a)| <= |f(b)-f(a)|
到这里为止虽然不足以得到矛盾，但是前提是所有涉及的不等式都必须是等式，也就是说
|f'(x)|=K(x-a)，a<=x<=c
|f'(x)|=K(b-x)，c<=x<=b
（注意非零且非负的连续函数积分也非零，所以整个区间上都必须相等）
考察f'(x)在x=c处的光滑性得到只能是 K=0，此时f(x)是常数，矛盾。