Question

已知函数f(x)=a-1/(2的x次方+1)，（a属于R）

已知函数f(x)=a-1/(2的x次方+1)，（a属于R）
(1)求证不论a为何实数它总为增函数：
（2）f(x)为奇函数，求a的值
（3）当它为奇函数使，求值域

Answer 1

(1)方法一：导数法。f'(x)=2^xln2/(2^x+1)^2≥0恒成立，∴不论a为何实数它总为增函数
方法二：定义法。取任意x1＜x2
f（x1）-f（x2）=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)=(通分)（2^x1-2^x2）/(2^x2+1)(2^x1+1)
设函数g（x）=2^x g(x)在R上单调递增
∵x1＜x2
∴2^x1＜2^x2
∴2^x1-2^x2＜0
又因为2^x2＞0，2^x1＞0
∴(2^x2+1)(2^x1+1)＞0
∴（2^x1-2^x2）/(2^x2+1)(2^x1+1)＜0
f（x1）-f（x2）＜0
即 f（x1）＜f（x2）
∴不论a为何实数它总为增函数

（2）方法一：∵f(x)为奇函数，且定义域为R
∴f（0）=0 a=1/2
（ 注意 ：用此方法一定要检验！）
检验：当a=1/2时，f（x）=1/2-1/（2^x+1）=(2^x-1)/(2（2^x+1）)
f（-x）=1/2-1/（2^-x+1）=(1-2^x)/(2(2^x+1))=-f(x)
所以f（x）是奇函数
∴a=1/2 符合条件
方法二：∵f(x)为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
a-1/（2^-x+1）=-（a-1/（2^x+1））
通分 （（a-1）2^x+a）/（2^x+1）=-（a（2^x+1）-1）/（2^x+1）
约分 （a-1）2^x+a=-（a（2^x+1）-1）
（2a-1）2^x+2a-1=0 恒成立
2a-1=0 a=1/2

（3）f（x）=1/2-1/（2^x+1）
∵定义域为R
∴2^x＞0 2^x+1＞1
∴0＜1/（2^x+1）＜1
∴-1＜-1/（2^x+1）＜0
∴-1/2＜1/2-1/（2^x+1）＜1/2
∴值域为（-1/2，1/2）

自己做的，若有误，先抱歉~~~