Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC与BD相交于点O．

（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若M是PB上的一点，且CM⊥PB，求|PM|/|MB| 的值．

Answer 1

1.∵AC∩BD=O
∴BO=DO AO=CO
∴PO是△PBD和△PAC的中线
又PB=PD PA=PC
∴PO⊥BD PO⊥AC(等腰三角形底边的中线与高重合)
∴PO⊥面ABCD
2.作OE⊥CD于E,连PE,作OF⊥PE于F,作OG∥BP交PD于G,连FG
则OF⊥面PCD,∠OGF为PB与面PCD所成的角,设为α
AC=2 OE=√3/2
OD=√3 PO=1 PE=√7/2
OF=PO·OE/PE=√21/7
OG=PB/2=1
sinα=OF/OG=√21/7
3.作BN⊥PC于N,则△PBN∽△CPM
PO=CO=1 PC=√2
PB=BC=2 BN=√14/2
CM=PE=√7/2(也可根据面积计算)
PM=1/2
MB=PB-PM=3/2
PM/MB=1/3