Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+4)/x.x∈[1,+∞），求f(x)的最小值

Answer 1

解：f(x)=(x^2+2x+4)/x. x∈[1,+∞），
f(x)=x+2+4/x
>=2+2√4
=6
当且仅当x=4/x x=2取得最小值
f(x)=6

追问

>=2+2√4 ，6 ，x=4/x 是怎么来的？麻烦给个详细的过程！

追答

f(x)=(x^2+2x+4)/x. x∈[1,+∞），
f(x)=x+2+4/x
=X+4/X+2 利用不等式性质 a+b>=2√ab 得来的
>=2+2√4
=6

Answer 2

原式可化为 f(x)=(x+1)^2+3
当x=1时 f(x)最小
此时为f(x)=(2+1)^2+3=3^2+3=12
故f(x) 的最小值为12

追问

原式是怎么化成 f(x)=(x+1)^2+3的？
给个具体的过程！

追答

原式为 f(x)=(x^2+2x+4)/x
即分子内每项均除以x
故有 f(x)=x+2+4/x
=x+4/x+2
因x,4/x均为正实数，根据均值不等式公式a+b≧2√a*b，得出
x+4/x≧2√(x*4/x)=4
即x+4/x≧4
故f(x)=x+4/x+2≧4+2=6
故当x∈[1,+∞）时，f(x)的最小值为6