Question

数学分析实数及连续性部分问题

f是[a,b]上的连续函数，f(a)<0,f(b)>0证明:存在ξ属于(a,b)使得f(ξ)=0,且f(x)>0,其中x属于(ξ,b)

答案提示用确界定理证明，请问要怎么证
或者用其他方法也可以，那六个等价的哪个都可以谢谢
正确我一定给分

Answer 1

令集合X={x|f(x)<=0,x属于[a,b]};
显然a属于X，所以X非空；
那么记ξ为X的上确界。显然ξ<b。
由于f(a)<0，那存在a的临域，使得f小于0，从而ξ>a;
显然，对(ξ,b)中元素，f(x)>0;
先只要说明f(ξ)=0;
如果f(ξ)<0,那么存在
ξ的临域使f<0,从而存在大于ξ的x使f<0,这与上确界定义矛盾。
如果f(ξ)>0,那么存在
ξ的临域使f>0,从而存在比ξ小的数是X的上界，这也于确界定义矛盾。
所以f(ξ)=0。证毕。

追问

后半部分呢？

追答

你看看X的定义啊，小于等于0的地方都在X里面了。 那X的右边还会有小于等于0的么。

Answer 2

ξ=sup{x:f(x)<=0}
由于f(a)<0，所以{x:f(x)<=0}非空，即ξ存在
再用连续性验证其余结论

也可以定义
ξ=inf{T: f(x)>0, 对任意x \in (T,b)}

追问

能说得详细一点吗？谢谢
f(ξ)=0我也会证，但后面那部分f（x）>0怎么证

追答

这提示比答案具体多了，你得自己动手，不要偷懒，不然怎么能学会

这种问题多用反证法，在注意sup的定义

追问

我真的就是后面那部分没想明白......
好吧，我再想想看
谢谢你了
好像有些明白了
谢谢

追答

含糊的地方多想几遍，仔细写清楚，这样才会有收获。
毕竟数学分析是训练严谨性的。