Question

已知函数f(x)=lg[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1]的值域域为R，则实数a的取值范围是？

Answer 1

题目里没有交代函数定义域，姑且认为定义域为R。
解答如下：
令g(x)=(a^2-1)x^2+(a+1)x+1，根据对数函数的定义，显然有(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0，所以g(x)不可能为一次函数（一次函数定义域为R值域必为R）。
1.先看g(x)为二次函数的情况：
因g(x)定义域为R，所以有△<0，由此可以解得a>5/3或a<-1。显然这是个开口向上的二次函数，它在对称轴x=(a+1)/[2(a^2-1)]处取得最小值，倘若要强调g(x)取遍0到正无穷的一切数，那么有
g((a+1)/[2(a^2-1)])无限接近于0，则可解得[(a+1)/(a^2-1)]^2无限接近于-4/3，显然a不是实数了，与题干违背。（所以该题不严谨，不过仅限于中学知识则无可厚非）
2.再看g(x)为常数函数的情况，此时a=-1，g(x)=1，同样，在不强调g(x)一定取遍正数的情形下，这一结果符合题意。
综上所述，a的取值范围是(-∞,-1]∪(5/3,+∞).

Answer 2

因为f(x)的值域为R，则(a^2-1)x^2+(a+1)x+1必须能够取遍所有正实数，
即（0，＋无穷）必须是函数y＝(a^2-1)x^2+(a+1)x+1的值域的子集，
1）
当a^2-1＝0即a＝1或-1时
1°a＝1时，符合题意；
2°a＝-1时，不符合题意。
2）
当a^2-1不等于0时
a^2-1＞0且△≥0，
解得1＜a≤5/3
综上所得，a的范围是1≤a≤5/3

http://zhidao.baidu.com/question/43863355.html?an=0&si=2

定义域为R 且(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0
a^2-1不等于0，即a不等于正负1.
(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0
x属于R,y=(a^2-1)x^2+(a+1)x+1是一个二次函数，有最小值应恒大于0，所以a^2-1>0 ①
二次函数最小值
=[4(a²-1)-（a+1）²]/4(a²-1)>0 ②
由①②解得1<a<5/3或a<-1