Question

高数~求极限！！求指点。。

★前提：以下所有题目都不得使用洛必达法则！！！

必须给出思路及关键步骤，具体过程可以忽略。
等价无穷小代换时，是决不可以随意地将和或差中的某些项作代换的吧？为什么你们1,2题都直接作代换了呢？

Answer 1

全部等价量
1)e^(x^2)-1~x^2
arcsin(x^2)~x^2
sin^3(x)~x^3
x ln(1-2x)~x(-2x)=-2x^2
所以lim=(x^2)/(x^3+2x^2)=1/(x+2)->1/2
当x->0(上下同除x^2,把x=0代入)

2)tan^4(x)~x^4
ln(1+3x^3)~3x^3
(1-cosx)~x^2/2
e^(2x)-1~2x
lim=[x^4+3x^3]/(x^4+x^2/2*2x)=[x+3]/[x+1]=3
当x->0(上下同除x^3,把x=0代入)

3)n*ln2=ln(2^n)<ln(1+2^n)<ln(2^(n+1))=(n+1)ln2
而且3^(1/n)>1
所以令原式为f(n)
n(3^(1/n)-1)<f(n)<(n+1)(3^(1/n)-1)
3^(1/n)-1=e^(ln3/n)-1~ln3/n,因为1/n->0
所以ln2*ln3=(ln3/n)*nln2<f(n)<(ln3/n)*ln2(n+1)=ln3*ln2/(1+1/n)->ln3*ln2
所以由夹逼定理，极限为ln3*ln2

4)分子有理化
令t=三次根号(x^3+2x^2+1)
t^3-x^3=(t-x)(t^2+tx+x^2)
所以t-x=(t^3-x^3)/(t^2+tx+x^2)
=[x^3+2x^2+1-x^3]/[t^2+tx+x^2]
=(2x^2+1)/[t^2+tx+x^2]
上下同除x^2
分子=2+1/x^2->2,x->无穷
分母=(t/x)^2+(t/x)+1
关键看t/x趋向于什么
t/x=三次根号(x^3+2x^2+1)/x
=三次根号((x^3+2x^2+1)/x^3)
=三次根号(1+2/x+1/x^3)->1
所以分母趋向于1+1+1=3
极限=2/3

5)用夹逼原理,令原式=f(n)
(n^2+n)>(n^2+n-1)>...>(n^2+1)>0
根号(n^2+n)>根号(n^2+n-1)>...>根号(n^2+1)>0
所以1/根号(n^2+n)<1/根号(n^2+n-1)<...<1/根号(n^2+1)
所以可以进行放缩，如果每一项都是最小值1/根号(n^2+n)
那么和会小于原式，都是最大值，则会增大，即
1/根号(n^2+n)+1/根号(n^2+n)+...+1/根号(n^2+n)
< f(n) <1/根号(n^2+1)+1/根号(n^2+1)+...+1/根号(n^2+1)
即
n/根号(n^2+n)<f(n)<n/根号(n^2+1)
两边都取极限，都等于1，所以由夹逼原理原式极限为1
n/根号(n^2+n)=1/根号(1+1/n)->1
n/根号(n^2+1)=1/根号(1+1/n^2)->1

追问

等价无穷小代换时，是决不可以随意地将和或差中的某些项作代换的吧？为什么你1,2题都可以直接作代换了呢？

追答

是这样的，如果两者的第一阶无穷小抵消
则必须看第二阶，第二阶抵消了看第三阶，以此类推
但是很明显第一第二题都没有抵消，所一直只用考虑taylor展开的第一项
比如sinx - (e^x-1)
如果只看展开的第一项，就得到x-x=0,可是实际上这两个函数不等的，
所以看第二项sinx的是-x^3/3!
e^x-1的是x^2/2!
所以我们比较一下两者，显然x^2胜出，所以我们可以说sinx - (e^x-1)~-x^2/2!

追问

不好意思，泰勒公式我们还没学到，请问可以用求极限的基本方法（如变量代换、因式分解等）求解吗？

追答

那你怎么知道等价量的呢？我解题没有用taylor啊
我用的都是等价量和因式分解，夹逼原理啊~

追问

等价无穷小是两个函数f(x),g(x)有lim(x→0)f(x)/g(x)=1,则f(x),g(x)互为等价无穷小，但是作等价无穷小替换时，目前我们的要求是只能在乘除法时作替换。。你解题是没有用taylor，但你的解答是在加减法上作了等价无穷小的替换，我想知道1,2题能否只在乘除法的基础上作替换求解

追答

不太可能，函数类别差异太大，直接替换是最明智的方法~

追问

请问第一题像这样做可以吗？

追答

当然可以啊，但是你还是在和差中用了直接替换，一样的啊~
因为 (sin/arsin)-(xln/arcsin)这一项你等于也是直接替换的，只是替换前需要求个商的极限而已

追问

哦。。那能不能再麻烦你看一下这两道题，谢谢了

追答

若l>1,令n->无穷，l^(nx)趋向无穷，成为主项
则sin2x+2l^(nx)*cosx~2l^(nx)*cosx
x+l^(nx)~l^(nx)
[sin2x+2^(lx)*cosx]/[x+l^(nx)]~2l^(nx)*cosx/l^(nx)=2cosx
再取x->0,极限=2
若0无穷，l^(nx)趋向于0，主项为 sin2x和x
sin2x+2^(lx)*cosx~sin2x
x+l^(nx)~x
再令x->0,sin2x/x->2,极限也是2
若l=1
=(sin2x+2cosx)/(x+1)->2/1=2,当x->0
所以极限存在，无论l是什么值都是2

sin(3(x^1/3))~3(x^(1/3)),1/3<2所以这是主项
a=3,b=1/3

2^3x=e^(3ln2 x)~1+3ln2*x
2^3x-x^2~1+3ln2*x-x^2~1+3ln2*x
ln(2^3x-x^2)~ln(1+3ln2*x)~3*ln2*x
a=3*ln2,b=1

Answer 2

极限号，无穷小量的余项都不写了
1.用等价无穷小替换
arcsin(e^x^2-1)~e^x^2-1~x^2
(sinx)^3~x^3
ln(1-2x)～-2x
所以原式=x^2/(x^3+2x^2)=1/2
2.(tanx)^4~x^4
ln(1+3x^3)~1+3x^3
1-cosx~x^2/2
e^(2x)-1~2x
所以原式=3
e^ln2~(1+2^n)^(1/n)
所以ln2~ln(1+2^n)/n
所以ln(1+2^n)~n ln2
(3^(1/n)-1)/(1/n)~ln3
所以3^(1/n)-1~ln3/n
因此原式=ln2ln3
4.y->0时，(1+y/3)^3~1+y，即 三次根号下(1+y)~1+y/3
三次根号下(x^3+2x^2+1)=x三次根号下(1+2/x+2/x^3)
三次根号下(1+2/x+2/x^3)~1+2/(3x)
原式=x(2/(3x))=2/3
5.用夹逼定理
n/(根号下n^2+n)<原式<n/(根号下n^2+1)
因此原式=1

有问题追问吧

追问

等价无穷小代换时，是决不可以随意地将和或差中的某些项作代换的吧？为什么你1,2题都可以直接作代换了呢？

追答

所以说我说要加上余项
arcsin(e^x^2-1)~e^x^2-1+o((e^x^2-1)^2)~x^2+o(x^4)
(sinx)^3~x^3+o(x^3)
ln(1-2x)～-2x+o(x^2)
所以原式
=[x^2+o(x^4)]/[x^3+2x^2+o(x^3)]
=[1+o(x^2)]/[2+x+o(x)]
=[1+o(x^2)]/[2+o(x)]
其中o(x^2)和o(x)都是高阶无穷小，可以直接去掉
所以原式=1/2

追问

那可以再麻烦看一下这两道题么？谢谢了

Answer 3

1、第一题利用等价无穷小先把分子替换成x^2,再把分子分母颠倒，也就是求原函数的倒数的极限，将新极限分成两个极限，再分别用等价无穷小，最后再倒数回来就可以。
4、最后一题用夹逼准则，n/(根号下n^2+n)<原函数<n/(根号下n^2+1),左右两个函数的极限都是1，则原表达式=1
其他几个实在没有想到比洛必达法则好的方法。

追问

可是我们导师要求不能使用洛必达啊。。。T_T

Answer 4

无穷小替换可以用吗

追问

当然可以，而且就是要用到这个

追答

第一个分母 arcsin(e^(x^2)-1)~e^(x^2)-1~x^2
分子 sin^3x~x^3 ln(1-2x)~-2x
应该=1/2 思路就是arcsinx~x e^x-1~x sinx~x ln(1+x)~x 至于为何分母可以用替换 因为减数与被减数不是同阶
第二个 tan^4x~x^4 ln(1+3x^3)~3x^3
1-cosx=2sin^2(x/2)~x^2/2 e^2x-1~2x
原式应该=3
第三个 令t=1/n
方程化为lim(t->0)(3^t-1)ln(1+2^(1/t))
3^t-1=e^(tln3)-1~tln3
原式化为lim(t->0)tln3*ln(1+2^(1/t))然后这个不用罗比达的话要用抓大头法忽略那个常数1
lim(t->0)tln3*ln(1+2^(1/t))->lim(t->0)tln3*ln(2^(1/t))=ln2*ln3
第四个令t=1/x
lim(t->0)(1/t^3 +2/t^2+1)^(1/3)-1/t
通分化为lim(t->0)[(1+2t+t^3)^(1/3)-1]/t
然后用立方差公式化为lim(t->0)[1+2t+t^3-1]/[t*(1+(1+2t+t^3)^(2/3)+(1+2t+t^3)^(1/3))]
应该=2/3
第五个 原式=∑1/√(n^2+i) i∈[1,n]
夹逼法n/√(n^2+n)=∑1/√(n^2+n)≤∑1/√(n^2+i)≤∑1/√(n^2+1)=n/√(n^2+1)
当n->∞ 原式=1 其实最后一个和罗比达一点关系都 没有 你用罗比达也求不出

追问

不好意思，泰勒公式我们还没学到，1,2题中分母直接用无穷小替换还不是很明白，请问可以用求极限的基本方法（如变量代换、因式分解等）求解吗？

追答

不是泰勒 上面说明了至于为何分母可以用替换 因为减数与被减数不是同阶
自己看清楚，加减不是不能等价替换
没有变量代换和因式分解办法
又不是多项式怎么因式分解