Question

如图，AB是圆O的直径，角A=30°，M是OA上一点，过点M做AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，

直线CF交EN于点F,且角ECF=角E.(1)求证：CF是圆O的切线；（2)设圆O的半径为1，且AC=CE，求MO的长。

Answer 1

证明：因为ME垂直于AB，
所以角E+角B=90度，
又角A +角B=90度，
所以角E=角A=30度，
又角ECF=角E.
所以角ECF=30度，
又角OCB=角B=60度，
所以角OCF=180-60-30=90度，
所以CF是圆O的切线。
因为三角形ABC是直角三角形，角A=30度，
所以BC=1，所以AC=2^2-1^2开平方=根号3
因为AC=CE，
所以CE=根号3,
所以BM=(根号3+1)/2
所以OM=根号3/2+1/2-1=根号3/2-1/2