Question

f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,证明g(x)在负无穷到正无穷的导函数连续

当不等于零时g(x)=f(x)/x；当x=0时g(x)=f′（0）

Answer 1

当x不等于零时g(x)=f(x)/x，显然f(x)具有二阶连续导数，1/x也是可导的，
故g′(x)=[xf′(x)-f(x)]/x^2,
当x不等于0时，由于f(x)具有二阶连续导数，故f′(x)也是连续的，显然1/x^2也是连续的，由连续的可加性及可乘性知，当x不等于0时，g的导函数是连续的；
当x=0时g(x)=f′（0），则有
lim(x→0)g(x)
=lim(x→0)f(x)/x (洛必达法则)
=lim(x→0)f′(x)
=f′(0)
故g(x)在x=0处连续，下面证明其导数在x=0处存在且连续：
g′(0)=lim(△x→0)[g(△x)-g(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)/△x-f′(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)-△x*f′(0)]/△x^2 (洛必达法则)
=lim(△x→0)[f′(△x)-f′(0)]/[2△x]
=1/2f′′(0)
lim(x→0)g′(x)
=lim(x→0)[xf′(x)-f(x)]/x^2
=lim(x→0)[f′(x)/x-f(x)/x^2] (洛必达法则)
=lim(x→0)[f′(x)/x-f′(x)/2x]
=lim(x→0)1/2f′′(x)
=1/2f′′(0)
因此g′(0)=lim(x→0)g′(x)
故g(x)在负无穷到正无穷的导函数连续

Answer 2

求出g(x)的导函数