Question

已知：如图，BC是半圆的直径，AD垂直于BC于点D ，弧AB=

已知：如图，BC是半圆的直径，AD垂直于BC于点D ，弧AB=弧AF，BF与AD交于点E。
求证：(1)AE=BE
(2)若A,F把半圆三等分，BC=12，求AE的长
求过程，百度上虽然有可有些看不懂，特别第二小题有设ED为x的，谢谢了。

Answer 1

分析：（1）连AC，要证明AE=BE，只要证∠ABE=∠BAE；BC为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由 BÂ=AF̂，得∠ACB=∠ABF，这样就有∠ABE=∠BAE；
（2）由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．
解答：解：（1）连AC，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵ BÂ=AF̂，
∴∠ACB=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；
（2）∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB= 12BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD= 12AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE= 3，
∴BE=2 √3，
所以AE=2 √3．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为90度以及含30度的直角三角形三边的关系为1： 3：2．

Answer 2

(1)
连接BA,AC,
BC是半圆的直径,∠BAC=90°，
∠DAC+∠BAD=90°
AD垂直于BC于点D ，
∠DAC+∠C=90°,
∠BAD=∠C,
弧AB=弧AF,∠C=∠ABF,,[同弧，等弧圆周角相等]
∠BAD=∠ABF,
AE=BE.
(2)
设圆心为O,连接AO,FO,
弧AB=弧AF弧AB=弧FC,
∠BAO=∠AOF=∠FOC=180°/3=60°,
BO=AO,∠ABO=∠BAO=(180°-∠BAO)/2=(180°-60°)/2=60°,
三角形AOB为等边三角形，AB=BO=BC/2=12/2=6,
∠BAD=∠ABF=∠C=∠BAO/2=60°/2=30°,[根据（1）的结论以及同弧圆周角=圆心角/2]BD=AB/2=6/2=3,
∠DBE=∠ABO-∠ABF=60°-30°=30°。
BE=BD/[(√3)/2]=3/[(√3)/2]=2√3.
AE=BE=2√3.