Question

求问x趋于0时，(a^x-1)/x的极限 百度里解答里的一个不解

令a^x-1=t,根据指数函数连续性,当x->0时,t->0
然后,x=loga(1+t),（以a为底的对数）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 并且 x->0变成是t->0的极限
因为[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
并且,t->0时,[(1+t)^(1/t)]=e是显然的.
所以 [loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)] -> loga(e)
所以 (a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] -> 1/loga(e)=lna

搜出来解答是这样的，但是在令t过程中 不是这样吗(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)]，怎么到下一步 [loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)] 中，t又变成分子去了

Answer 1

[loga(1+t)]/t=1/t*loga(1+t)=loga[(1+t)^(1/t)]

追问

我知道这步，我说的是这步里的(a^x-1)/x=t（<-这个t）/[loga(1+t)]
令t以后，t是在分母的，怎么下一步也就是你回答的这步就到分子去了 。
这中间的过程不太明白求解答 谢谢

追答

令a^x-1=t,根据指数函数连续性,当x->0时,t->0 然后,x=loga(1+t),（以a为底的对数）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] =1/[loga(1+t)/t]=1/[1/t*loga(1+t)]