Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足对任意实数X，都有f(x)≥x，且当x属于（1,3）

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,(a,b,c∈R)满足：对任意实数x,都有f(x)≥x，且当x∈(1，3)时，有f(x）≤(1/8)(x+2)^2成立
1.证明f(2)=2
2.若f(-2)=0，f(x)的表达式
3.设g(x)=f(x)-mx/2,x≥0，若g(x)的图上点都位于直线y=1/4上方，求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）f(2)≥2
2∈(1，3)有f(2)≤2
所以f(2)=2
（2）
f(2)=0得：4a+2b+c=2
f(-2)=0得：4a-2b+c=0
所以b=1/2
(-2,0)是f(x)的顶点坐标
-b/2a=-2
所以a=1/8
c=1/2
f(x)=1/8*x^2+1/2*x+1/2
(3)g(x)=1/8*x^2+1/2*x+1/2-mx/2
g'(x)=1/4*x+1/2-m/2
x≥0时，必有g(x)为单增，即1/4*x+1/2-m/2>0
且x=0时，g(0)>1/4
所以分别解得：m<1

希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

追问

请问g'(x)=1/4*x+1/2-m/2是怎么得来的？

Answer 2

（1）证明：f(2)=2
因为对于任意实数x，都有f(x)≥x，f(x)≤(1/8)(x+2)^2
所以：
f(2)≥2，且f(2)≤(1/8)*(2+2)^2=2
即，2≤f(2)≤2
所以，f(2)=2
(2) 由f(2)=2，f(-2)=0,得4a+2b+c=0……①,4a-2b+c=0……②,
①-②，得b=1/2.①+②，的3c=1-4a，代入f(x)≥x，得ax^2-(x/2)+1-4a≥0对任意实数x恒成立, ∴ a>0且△≤0,即a>0且(8a-1)^2≤0,但(8a-1)^2≥0, ∴ a=1/8,c=1/2,经验证对任意实数x，都有f(x)≤1/8(x+2)^2恒成立, ∴ f(x)=(1/8)x^2+(x/2)+(1/2)
(3) g(x)=(1/8)x^2+(1-m)x/2)+(1/2)≥1/4(x≥0时)即x≥0,
x^2+(4m-1)x+2≥0在[0,+∞)上有解. ∴ △=8[(m-1)^2-1]≥0……①，2（n-1）≥0……②，解得m≥1+(√2/2)

Answer 3

(1)由已知有：f(2)>=2.
因为2∈(1，3)，所以f(2)<=(1/8)(2+2)^2=2.
综上即得：f(2)=2
(2)由f(2)=0和f(-2)=0可得三个结论：
4a+2b+c=0
4a-2b+c=0
f(0)=c>=0（这是根据f(0)≥0）
得到：c=-4a>=0，即a<=0.
而由定理有(这个应该是老师给你们的结论)：
对任意实数x,都有f(x)≥x，则：a>0，且△<=0。(F(x)=f(x)-x，△是F(x)的判别式)
所以得出矛盾，这样的f(x)的表达式不存在。
(3) 由f(2)=0得：4a+2b+c=0，这里如果没有结合第二问的结论，估计没有办法得出结果。。

Answer 4

你是读高中的吗