Question

对函数f（x）=a-2/2^x+1 （a属于R） （1）证明其单调性 （2）是否存在实数a使函数为奇函数？并证明

Answer 1

若函数f(x)为奇函数
f(-x)=-f(x)即:
a-2/(2^(-x)+1)=-a+2/(2^x+1)
整理为:
2a=2/(2^(-x)+1)+2/(2^x+1)

a=1/(2^(-x)+1)+1/(2^x+1)
=2^x/(2^x+1)+1/(2^x+1)
=(2^x+1)/(2^x+1)
=1
所以a=1时函数f(x)为奇函数

Answer 2

（1）设X1＞X2，f(x1)-f(x2)=(a－2/2^X1+1)-(a－2/2^X2+1)=2/2^X2－2/2^X1＝2（(2^x1-2^x2)/2^(x1+x2)）

因为X1＞X2，所以2^x1＞2^x2，2^(x1+x2)＞0，
所以2（(2^x1-2^x2)/2^(x1+x2)）＞0 即f(x1)-f(x2)＞0，所以是增函数

（2）若函数f(x)为奇函数
f(-x)=-f(x)即:
a-2/(2^(-x)+1)=-a+2/(2^x+1)

2a=2/(2^x+1)+2^x*2/(2^x+1)

2a=2（1+2^x）/1+2^x
2a=2
a=1
所以a=1时函数f(x)为奇函数

这是一种方法，还有简单的，
因为f（x）为奇函数，
所以f（0）=0
带进去算出a=1
然后再把a=1带进去检验。（有的地方的学校不要求写这一步）

Answer 3

（1）单调性用定义证
f（x）=a-2^（1-x）+1
（2）由f(0)=0
a=1
当a=1
-f(x)=2^（1-x）-2
f(-x)=2^（1+x）+2
不等，所以不存在a

分母是
2^x还是2^x+1？

Answer 4

（1）设x1、x2∈R,且x1＜x2。
f(x₁)-f(x₂)=a-2/2^x₁+1 -a+2/2^x₂-1 =2/(2^x₂)-2/(2^x₁)=2(2^x₁-2^x₂)/(2^x₂×2^x1)
∵x1＜x2 ∴2^x₁-2^x₂＜0 又∵2^x₂×2^x1＞0
∴f(x₁)-f(x₂)＜0
∴递增

Answer 5

可以用几何画板试试