Question

如图所示，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点,O为ABCD的中心，q求证B1D⊥平面PAC

Answer 1

取底面ABCD对角线交点O。连结PO、B1O，PB1，B1D1，
因AP=PC，
三角形APC是等腰三角形，故PO⊥AC，同理B1O⊥AC，
故<POB1是二面角P-AC-B1的平面角，
设正方体棱长为1，
则AP=CP=√5/2，
AC=√2，AO=√2/2，
PO=√（AP^2-AO^2)=√3/2，
而AB1=AC=CB1，（都是正方形的对角线），
△ACB1是正△，
B1O=（√3/2）*AC=√6/2,
B1P=√(PD1^2+B1D1^2)=3/2,
PO^2+OB1^2=9/4,
PB1^2=9/4,
根据勾股定理三角形OB1P是直角三角形，
〈POB=90度，
故平面PAC⊥平面B1AC。

Answer 2

取底面ABCD对角线交点O。连结PO、B1O，PB1，B1D1，
因AP=PC，
三角形APC是等腰三角形，故PO⊥AC，同理B1O⊥AC，
故<POB1是二面角P-AC-B1的平面角，
设正方体棱长为1，
则AP=CP=√5/2，
AC=√2，AO=√2/2，
PO=√（AP^2-AO^2)=√3/2，
而AB1=AC=CB1，（都是正方形的对角线），
△ACB1是正△，
B1O=（√3/2）*AC=√6/2,
B1P=√(PD1^2+B1D1^2)=3/2,
PO^2+OB1^2=9/4,
PB1^2=9/4,
根据勾股定理三角形OB1P是直角三角形，
〈POB=90度，
故平面PAC⊥平面B1AC。希望楼主采纳！