Question

f(x)，g(x)在x0处都没有导数，则F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)-g(x)在x0处至多有一个导数，给出证明。

Answer 1

用反证法
Assume
F(x), G(x) , x0处都有导数
F(x) = f(x)+g(x) (1)
G(x) = f(x)-g(x) (2)
(1) +(2)
F(x) +G(x) = 2f(x)
F(x) ,G(x) ,x0处都有导数
=> F(x) +G(x), x0处都有导数
2f(x), x0处都没有导数
contradiction

=>F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)-g(x)在x0处至多有一个导数

追问

为什么不是一定都没导数？

追答

至多有一个导数 = 没有导数 or 一个导数
“至多有一个导数”的相反 = “没有导数 or 一个导数”的相反
= 有导数 and 非一个导数
= 2个导数

追问

这是条选择题，有一个选项是一定都没导数，我想知道为什么不是一定都没导数？

追答

F(x) = 1/x
G(x) = 1/x
F(x),G(x) 在 x=0 没有导数
F(x)-G(x) = 0 在 x=0 有导数