Question

定义在（-1，1）上的函数F(X)满足：对任意X,Y属于(-1,1),都有F(X)加F(Y)等于f(X+Y除以（1+XY））

1求证函数F(X)是奇函数。
2，若当X属于（-1，0）时，有F(X)大于0.求证：F(X)在（-1，1）上是减函数。

Answer 1

f(x)+f(y)=f[(x+y)/1+xy]定义在（-1，1）都满足 所以 f(0)+f(0)=f(0) 所以 f(0)=0
再 X取-x y取-x 即 f(-x）+f(x)=f(0) 所以函数f(x)为奇函数

第二问 取 x1﹤ x2 并且属于（-1，0）
所以 f(x1)-f(x2) =f[(x1+x2)/1+x1*x2] 而[(x1+x2)/1+x1*x2] 也属于（-1，0）
所以 f[(x1+x2)/1+x1*x2] ﹥0 所以 f(x1)-f(x2) ﹥0 所以f（x）在（-1，0）为减函数
由于f（x）为奇函数 所以F(X)在（-1，1）上是减函数

追问

第2小问知道做吗？所以 f(x1)-f(x2) =f[(x1+x2)/1+x1*x2] 这一步我不理解，应该是F(X1-X2/1+X1X2)吧？我不懂，可以讲详细些吗？

追答

对不起啊 写错了 第二步我再做

取 x1﹤ x2 并且属于（-1，0）
所以 f(x1)-f(x2) =f(x1)+f(-x2)
= f[(x1-x2)/1+x1*-x2] 而[(x1-x2)/1+x1*-x2]也属于（-1，0）
所以f[(x1-x2)/1+x1*-x2] ﹥0 所以 f(x1)-f(x2) ﹥0 所以f（x）在（-1，0）为减函数
由于f（x）为奇函数 所以F(X)在（-1，1）上是减函数

追问

非常感谢！请问可以加你QQ吗？