Question

证明：若f(x)在负无穷到正无穷内连续，且当x趋于无穷时f(x)的极限存在，则f(x)必在负无穷到正无穷内有界。

求详细证明。

Answer 1

设lim{x->∞}f(x)=A
由极限保号性可知存在X>0, 当|x|>X时, |f(x)|<|A|+1;
此外由于函数f(x)在闭区间[-X-1,X+1]上连续, 所以必有界, 设|f(x)|<=M, 对所有|x|<=|X|+1;
因此, 对所有x∈R, |f(x)|<=max{|A|+1,M}
证毕！

Answer 2

先讨论当x大于0时：对于给定ξ，存在一个X，使得x>X时，f(x)-A绝对值小于ξ，即-ξ<f(x)-A<ξ,而在（0，X】这个有限长度的区间来说，存在最大值和最小值那么它在（0，＋∞】是有界的。x<0同理。过程就不用了吧。

Answer 3

大学数学有界函数 伤不起啊