Question

当x趋于0时，证明无穷小³√1+x -1与x÷3等价

Answer 1

用等价无穷小的定义很快就出来了,但我希望你能记住的是下面这个:
当x是无穷小时,(1+x)^m-1~mx.
只要是形如q^n-1的形态的(这里是(1+x)^m-1),通通给我联想到等比数列的求和公式.怎麼联想?
考虑等比数列1,q,q²,q³,...,q^(n-1),一共有n项,它们的和1+q+q²+...+q^(n-1)=(q^n-1)/(q-1),有没有问题?所以说,q^n-1=(q-1)[1+q+q²+...+q^(n-1)]对不对?
再来,我要证明(1+x)^m-1~mx,根据定义只需要证明lim(x→0)[(1+x)^m-1]/mx=1就行了.
而(1+x)^m-1=x[1+1+x+(1+x)²+...+(1+x)^(m-1)],所以相当於是要证明
lim(x→0)[1+1+x+(1+x)²+...+(1+x)^(m-1)]/m=1,自己看一下这个极限是不是等於1?是的吧?所以就得出结论(1+x)^m-1~mx,当x是无穷小时.

Answer 2

当x→0时
(√1+x-√1-x)/x
=2x/x(√1+x+√1-x)
=2/(√1+x+√1-x)
=1
所以他们是等价无穷小 根据定义就可以知道