Question

设函数f(x)在[0,1]上可导,对于[0,1]上每一点x，都有0<f(x)<1,且f(x)的一阶导数不等于1，证明，在(0,1)内

有且仅有一个ξ，使f(ξ)=ξ

Answer 1

令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续，
故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.
下面用反证法证明 ξ 只有一个。
假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0.
由罗尔中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2), F '(η) = f '(η) - 1 = 0
=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾，假设错误。
因此在(0,1)内有唯一点，使得 f(ξ) = ξ.

Answer 2

构造F（x）=f（x）-x
则由F（0）>0
F（1）<0
又因为F（x）连续，所以由介值定理：
则存在一点ξ，使得F（ξ)=0
即f(ξ)=ξ

追问

但要有且仅有一个点啊，貌似要证单调性，可是我不会啊

追答

嗯，刚刚没看到仅有一个。
反设存在一个以上，那么至少有两个：ξ，η，而F（ξ）=F（η）=0
那么由F（x）在[0，1]上可导，可以知道存在一点s属于（ξ，η），F '（s）=0
而F ‘ （x）=f ’（x） -1，又f ‘(x) =/= 1
所以F’(x) =/=0，矛盾。
故F至多一个零点，综合上面可以知道有且仅有一个零点。

Answer 3

设F（x）=f(x)-x
然后用零点定理

追问

要有且仅有一个啊

追答

在对F(x)求导就可以了，在闭区间可导，导函数必连续，且不为零，所以单增单减，

陈金正确

Answer 4

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