Question

AB为圆O的一固定直径，它圆O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD垂直AB，角OCD的平分线交圆O于点P，

当点C在上半圆上移动时,试判断⌒AP与⌒BP相等吗？并说明理由、

Answer 1

解：作OC的反向延长线交弧APB于点E，
∵CD⊥AB
∴弧CA=弧CD
∵角COA=角BOE
∴弧CA=弧BE
∴弧AD=弧BE
∵CP是角OCD的角平分线
∴角DPC=角ECP
∴弧DP=弧EP
∴弧AD+弧DP=弧BE+弧PE
即：弧AP=弧BP
由题意可知，无论C在上半弧的什么位置，此结论都成立。

Answer 2

解：连OP
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠2，
而OC=OP，有∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵OP∥CD，
又∵弦CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．

Answer 3

连OP
∵CP平分∠OCD，
∴∠DCP=∠PCO ∵半径相等∴CO=OP∴∠PCO=∠OPC ∴OP平行CD ∵CD⊥AB∴∠AOP=∠POB ∵相等的圆心角所对的弧相等∴弧AP=弧PB 可证明

Answer 4

解：连OP
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠2，
而OC=OP，有∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵OP∥CD，
又∵弦CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．
故选B．