Question

已知f (x)=x+2/x (1)证明f(x)在[√2，+∞]上为增函数 (2)试求函数g(x)=(x²+6)/√(x²+4)的最小值

Answer 1

已知f (x)=x+2/x (1)证明f(x)在[√2，+∞]上为增函数 (2)试求函数g(x)=(x²+6)/√(x²+4)的最小值
(1)证明：∵f (x)=x+2/x，其定义域为x≠0
当x>0时，f (x)=x+2/x>=2√2
∴函数f(x)在x=√2时，取极小值2√2
∴f(x)在[√2，+∞]上为增函数
(2)解析：∵函数g(x)=(x²+6)/√(x²+4)= √(x²+4)+2/√(x²+4)
由（1）知当√(x²+4)= √2时，函数g(x)取极小值
∴x=0时，函数g(x)取极小值g(0)=6/2=3

追问

g(x)=(x²+6)/√(x²+4)= √(x²+4)+2/√(x²+4)
怎么变的？？分子怎么加了根号？？？

追答

刚才有点事，出去了，的确不对，提交后觉得有点不妥，正想修改，不知你学了导数没有，用导数解吧
(2)解析：∵函数g(x)=(x²+6)/√(x²+4)
令g’(x)=(x^3+2x)/[(x^2+4)√(x²+4)]=0==>x=0
∴x=0时，函数g(x)取极小值g(0)=6/2=3

Answer 2

（1）设X1>X2>=根号2，f(X1)-F(X2)比较（2）令t=分母，G(X)=t+2/t

追问

然后呢？

追答

我只是把大概的思路告诉你了，现在你还不会的话你就应该把课本上的概念和例题看一遍了

追问

你的方法是错的

Answer 3

1）设x2>x1>√2，则2/x2*x1<1。f(x2)-f(x1)=(x2-x1)*[(1-2/(x2*x1)]>0，得证。
2)g(x))=(x²+6)/√(x²+4)=√(x²+4)+2/√(x²+4)≥2√2。