线性代数题 15
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设a1,a2,b1,b2,b3线性相关，则根据线性相关性质，必然存在某个向量能被其他向量线性表示
不失一般性，令a1能被其他向量线性表示，所以a1=c1a2+c2b1+c3b2+c4b3 ---1)
所以s1a1 = Aa1 = A(c1a2+c2b1+c3b2+c4b3) = c1Aa2 +c2Ab1+c3Ab2+c4AB3
=c1s1a2 +c2 s2b1 +c3s2b2 +c4s2b3 = c1 s1a2 +s2(c2b1+c3b2+c4b3)
带入1）式得到
= c1s1a2 +s2(a1-c1a2) = s2 a1 +c1(s1-s2)a2 = s1a1
所以(s1-s2)a1 =c1(s1-s2)a2
因为a1，a2部相关，上式显然不成立，所以原来假设不成立，此向量组必然线性无关
不失一般性，令a1能被其他向量线性表示，所以a1=c1a2+c2b1+c3b2+c4b3 ---1)
所以s1a1 = Aa1 = A(c1a2+c2b1+c3b2+c4b3) = c1Aa2 +c2Ab1+c3Ab2+c4AB3
=c1s1a2 +c2 s2b1 +c3s2b2 +c4s2b3 = c1 s1a2 +s2(c2b1+c3b2+c4b3)
带入1）式得到
= c1s1a2 +s2(a1-c1a2) = s2 a1 +c1(s1-s2)a2 = s1a1
所以(s1-s2)a1 =c1(s1-s2)a2
因为a1，a2部相关，上式显然不成立，所以原来假设不成立，此向量组必然线性无关
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