Question

若当x∈(0,1/2)时，不等式x²+x＜logax恒成立，则实数a取值范围是

Answer 1

[[1]]
易知,a＞0,且a≠1
当x∈(0, 1/2)时,
易知,恒有x²+x＞0.
又logax=(lnx)/(lna).(换底公式)
此时lnx＜0.结合题设
0＜x²+x＜logax=(lnx)/(lna)
可知,lna＜0
∴应有0＜a＜1.
[[2]]
构造函数f(x)=x²+x, g(x)=-logax. h(x)=f(x)+g(x). (0＜x＜1/2)
易知,在区间(0,1/2)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,
∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,1/2)上是递增函数.
由题设可知,函数h(x)在区间(0,1/2)上恒有h(x)＜0.
∴必有h(1/2)≤0.
即有(1/4)+(1/2)-loga(1/2)≤0.
整理就是(3/4)≤(ln1/2)/lna
lna≥(4/3)ln(1/2)=ln[(1/2)^(4/3)]
∴(1/2)^(4/3)≤a＜1

Answer 2

当x∈(0,1/2)时2^x-logaX<0
所以0<a<1
则logaX为减函数
=>-logaX为增函数，又因2^x为增函数
所以x∈(0,1/2)，f(x)=2^x-logaX为增函数
则f(x)<f(1/2)=√2-loga(1/2)=√2+loga2
则√2+loga2<=0
a>=2^(-√2/2)
综上所述 2^(-√2/2)<a<1

Answer 3

我是初一的学生，没学过，不太懂，来蹭个分