Question

【求解一道高一函数题！】

若f(x)在[-5,5]是奇函数,且f(3)＜f(1),则
A.f(-1)＜f(-3)
B.f(0)＞f(1)
C.f(-1)＜f(1)
D.f(-3)＜f(-5)

要详细的解题过程与思路,谢谢大家!

还有一个附加的小问题:什么时候,什么题型出现奇函数之后,解题过程中需要用到f(0)=0呢?
写这个有什么作用呢?
谢谢大家!好的继续加分!

Answer 1

A，f（x）在【-5,5】上为奇函数，说明f（o)=o,以及f（-3）＞f（-1）（对称性）
并不能说明区间单调性或是f（-·1）＜f(1)这类跨y轴的大小
f（0)=0一般用于题目中出现字母，或出现特殊法则，带入f（0）=0以进行简化，例如：
已知函数y=f（x）对任意x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）。当x＞0时，f（x）＜0， 且f（1）=—2\3
1、证明f（x）是奇函数
2、判断并证明f（x）在R上的单调性
3、求f（x）在区间【-3,3】上的最值

很经典的题目，楼主先自己领悟，实在不会也可追问。希望给分，谢谢。

追问

初学,不会做
烦请您详细把这道经典题目的解析过程与思路写出来
感谢您的例题
谢谢！

追答

1、f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（奇函数首要条件）
：∵函数f（x）的定义域为R，令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴函数f（x）是奇函数．
2、设d>0
f(x)+f(d)=f(x+d)
f(x+d)-f(x)=f(d)<0
所以：f(x+d)<f(x)
f(x)是R上的减函数（任意取值，后带入计算）

3、f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2（利用上一问的减函数条件）

f(-3)=-f(3)=2

因f(x)是R上的减函数
所以：f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3)=2
最小值为f(3)=-2

希望给分，谢谢。

Answer 2

答案为A
f(3)＜f(1),由f(x)=-f(-x)，可知-f(-3)＜-f(-1),
所以f(-1)＜f(-3)，A正确
B，C，D判断依据不足

f(0)=0这个条件是需要灵活应用的，其实奇函数，你只要对f(x)=-f(-x)融会贯通，相信你会所向披靡
例如，将x=0，代入f(x)=-f(-x)，有f(0)+f(0)=0，可以推出f(0)=0
希望学习的时候在多做题的同时，注意多思考，多总结，这样对你的提升帮助更大，加油！