Question

一道高一数学题 急求啊 谢谢

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(2+X)=f（2-x），又对任意x1，x2∈【0, 1/2】都有：f（x1+x2）=f（x1）f（x2）
（1）设f（1）=2，求f（1/2），f（1/4）的值
（2）证明：f（4+x）=f（x）

请给详细过程好吗 谢谢！！

Answer 1

(1)设f(1)=2,求f(1/2)f(1/4)的值

对任意x1x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2,)
f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)f(1/2)
f(1/2)=f(1/4+1/1/4)=f(1/4)f(1/4)
f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)f(1/2)=f(1/4)f(1/4)f(1/4)f(1/4)=1
f(1/2)=1
f(1/4)=1
f(1/2)f(1/4)=1

（2）证明f(4+x)=f(x)
f(x)是定义在R上的偶函数，f(2+x)=f(2-x)
f(x)=f(-x)
f(4+x)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x)
f(4+x)=f(x)

Answer 2

（1）设f(1)=2,求f(1/2)f(1/4)的值
对任意x1x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2,)
f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)f(1/2)=2
所以f(1/2)=根号2
f(1/2)=f(1/4+1/1/4)=f(1/4)f(1/4)
f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)f(1/2)=f(1/4)f(1/4)f(1/4)f(1/4)=f(1/4）^4=2
所以f(1/4)=4次根号2
（2）对任意x∈R，都有f(2+X)=f（2-x）
则f(4+x)=f[2+(2+x)]
而f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)
f（x）是R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)
所以就有f（4+x）=f（x）

Answer 3

（2）f(2+X)=f（2-x），即f（x）关于x=2对称。f（x）是偶函数，即f（x）关于y轴对称。所以，周期是2。所以得证。
（1）f（1）=f（1/2+1/2）=f（1/2）f（1/2），f（1/2）=1，同理f（1/4）=1

Answer 4

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(2+X)=f（2-x），又对任意x1，x2∈【0, 1/2】都有：f（x1+x2）=f（x1）f（x2）
（1）设f（1）=2，求f（1/2），f（1/4）的值
（2）证明：f（4+x）=f（x）