Question

一道高数题

设m,n均是正整数，则反常积分∫（0到1）分子：m次根号下{[ln(1-x)]的平方}；分母是：x的（1/n）次方 dx的收敛性
是选择题：答案是：与m,n的取值都无关

答案说这是以x=0,x=1为瑕点的瑕积分
将0到1 分成0到1/2 和1/2到1 两个区间

我很不明白 ，希望给个过程吧~

Answer 1

有界区域，你看看函数，有两个地方是有发散的“危险的”，就是0和1处，在这两个附近函数值都趋于正无穷。所以我们要分别判断这两点附近函数的行为来确定是否收敛。分为分成0到1/2 和1/2到1 两个区间就是来分别研究这两个奇点。
打个预防针，
一 最常见的讨论在0处积分收敛性的函数是(1/x)^p，在0附近，当p>=1时候积分是发散的，p<1时候积分是收敛的。其实这体现了一个思想，虽然函数在0处很大，但如果大得不够快，积分仍然是收敛的。
而这个最快的速度的分界线就是1/x，比他趋于无穷还快的话，那就没可能收敛了~
二 lnx在x趋于无穷大的时候虽然发散，但发散速度比x的任何正的代数次方都慢。
也就是lnx/x在无穷远处极限为0。如果分母x上面有次数，比如x^p,p>0，你只要令t=x^p,就可以得到类似的结论。分子也一样，因为(lnx)^p/x=[lnx/x^(1/p)]^p 里面极限是0~
总之你记住，lnx当x趋于无穷的时候，发散的速度是很慢的，它的任何正次方和x的任何正次方相比都是小量~
下面进入正题：
首先，对于在0附近，分子等价于x^(2/m),分母还是x^(1/n),那么整个式子就是(1/x)^(1/n-2/m);
由于m，n都是正整数，所以1/n-2/m<1/n<=1,总是小于1的(第一个不等号是严格的！)，根据预防针一，在0处是收敛的，不管m，n具体是神马。
其次看1附近的行为，分母趋于1，忽略之~
分子做个变换就是(lnx)^(2/m)在0附近的积分了。
如果你看懂预防针二的话这里也就很明显了。原因是(lnx)^(2/m)=(-ln(1/x))^(2/m)
和(1/x)^0.5相比是小量，后者积分收敛。
其实他在0处发散的速度比(1/x)^p，p>0都要慢。

Answer 2

当x->0+ 时，分母 x^(1/n) -> 0； 当x->1- 时， 分子 ln²(1-x) -> +∞
这是以x=0,x=1为瑕点的瑕积分。任取 a ∈(0,1), 将 [0,1] 分成 [0,a] 和 [a,1]. 可取 a = 1/2。
1. ∫ [0,a] [ln(1-x)]^(2/m) / x^(1/n) dx = n/(n-1) * ∫ [0,a] [ln(1-x)]^(2/m) d [x^(-1/n +1)]
= -n/(n+1) * [ln(1-x)]^(2/m) * x^(-1/n +1) |[0,a]
+ n/(n+1) * (2/m) ∫ [0,a] [ln(1-x)] ^(2/m -1) * 1/(x-1)* x^(-1/n +1) dx
lim(x->0+) [ln(1-x)]^(2/m) * x^(-1/n +1)
= lim(x->0+) x ^(2/m - 1/n + 1) = 0
∫ [0,1/2] [ln(1-x)]^(2/m) / x^(1/n) dx 可积。

2. ∫ [1/2,1] [ln(1-x)]^(2/m) / x^(1/n) dx 换元， 令 t = 1-x
= ∫ [0,1/2] [ln t ]^(2/m) / (1-t)^(1/n) dt
类似讨论。

追问

两个地方有疑问：
1、答案第4行：-n/(n+1) 是不是写错了，应该是n/(n-1) 吧？？
2、lim(x->0+) [ln(1-x)]^(2/m) * x^(-1/n +1)
= lim(x->0+) x ^(2/m - 1/n + 1) = 0
这个地方为什么只考虑这一项啊？？后面不是还有一项： n/(n+1) * (2/m) ∫ [0,a] [ln(1-x)] ^(2/m -1) * 1/(x-1)* x^(-1/n +1) dx吗？
积分区间是[0,a]，不是[0,x]，为什么直接认为是0了呢？

谢谢

追答

1. 应该是 n/(n-1)
2. 第二项：n/(n-1) * (2/m) ∫ [0,a] [ln(1-x)] ^(2/m -1) * 1/(x-1)* x^(-1/n +1) dx 还应该考虑。
比我想的复杂。这是哪里的题目？ 答案确定？

追问

2010年考研数学二的第4道选择题
很郁闷也就在这里，选择题总感觉不能这样做的。
谢了

追答

答案应为B， 与 n 的值有关。详见：
http://wenku.baidu.com/view/731e8043336c1eb91a375d6b.html?from=rec&pos=2&weight=69&lastweight=60&count=5