Question

已知函数f(x)=(x²+ax+a)e的-x次方(a≤2,x∈R)

是否存在实数a，使f(x)的极大值喂3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

求函数极值点，先求驻点，即令f'(x)=0,
这里f'(x)=(2x+a-x^2-ax-a)*e^(-x)=[-x^2+(2-a)x]*e^(-x)=0
所以x=0,或x=2-a
极小值点f(0)=a,
极大值点f(2-a)=(4-a)*e^(a-2)
这时令右边为关于a的函数，g(a)=(4-a)*e^(a-2)
g'(a)=(3-a)*e^(a-2),令它=0，得a=3时，当a<3时g'(a)>0,单增
题目中a<=2,代入a=2,g(a)=2(最大值)
也就是说f(x)极大值为2（a<=2时）

Answer 2

1）f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+a)e^x
=[x^2+(a+2)x+2a](e^x)
当a=1时，f'(x)=(x^2+3x+2)(e^x)
令f'(x)＞0，解得x＜-2或x＞-1；
令f'(x)＜0，解得-2＜x＜-1，
所以f(x)的单调增区间为（-∞，-2）∪（-1，+∞）；
单调减区间为（-2，-1）。
（2）由（1），f'(x)=(x+2)(x+a)(e^x)，其中a≤2，
由于f'(x)=0的解为x=-2或x=-a，
①若a＞-2，则f(x)的极大值在x=-2取得，
由f(-2)=3可得
a=4-3e^2≈-18.17＜-2，
与假设的a＞-2矛盾，舍去；
②若a＜-2，则f(x)的极大值在x=-a取得，
f(-a)=3，则a/3=e^a，
在同一坐标系内作y=x/3与y=e^x的曲线
可知两者在x＜-2部分是无交点的
故无解。
综上，不存在a使f(x)的极大值为3。
(参考的，但全懂，不懂就问，又问必回）

追问

是e的-x次方
负x次方

追答

1）f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+a)e^-x
=[x^2+(a+2)x+2a](e^x)
当a=1时，f'(x)=(x^2+3x+2)(e^-x)
令f'(x)＞0，解得x＜-2或x＞-1；
令f'(x)＜0，解得-2＜x＜-1，
所以f(x)的单调增区间为（-∞，-2）∪（-1，+∞）；
单调减区间为（-2，-1）。
（2）由（1），f'(x)=(x+2)(x+a)(e^-x)，其中a≤2，
由于f'(x)=0的解为x=-2或x=-a，
①若a＞-2，则f(x)的极大值在x=-2取得，
由f(-2)=3可得
a=4-3e^-2≈-18.17＜-2，
与假设的a＞-2矛盾，舍去；
②若a＜-2，则f(x)的极大值在x=-a取得，
f(-a)=3，则a/3=e^a，
在同一坐标系内作y=x/3与y=e^-x的曲线
可知两者在x＜-2部分是无交点的
故无解。
综上，不存在a使f(x)的极大值为3。
(因为e的-x次方是指数函数所以关系不大只要在X前面加个付就可以了
指数函数单调性只和下面的底数有关，刚刚不好意思给楼主带来麻烦了
懂了么。不懂再问 ）

追问

应该是f'(x)=(2x+a)e^x—(x^2+ax+a)e^-x吧！！

追答

f'(x)=(2x+a)e^-x+(x^2+ax+a)e^-x

追问

绝对是f'(x)=(2x+a)e^x—(x^2+ax+a)e^-x

追答

你是你是对的！

Answer 3

f'(x)=(2x+a)e^-x-(x^2+ax+a)e^-x
=[-x²+(-a+2)x](e^-x)
=-x(x+a-2)e^-x
设f'(x)=0
因e^-x>0
所以-x(x+a-2)=0
解得x=0或x=2-a
已知a≤2 2-a≥0
1. x<0 时 f'(x)<0 函数单减
2. 0<x<2-a时 f'(x)>0 单增
3. x>2-a时 f'(x)<0 单减
所以f(x)max=f(2-a)
=[(2-a)²+a(2-a)+a]e^(a-2)
=(4-a)*e^(a-2)
设f(x)max=3
所以设g(a)=(4-a)*e^(a-2)-3
g'(a)=-e^(a-2)+(4-a)*e^(a-2)
=(3-a)*e^(a-2)>0 单增
则g(a)最大=g(2)=(4-2)*e^0-3=-1<0
所以g(a)<0即f(x)的极大值<3
故不存在这样的a值