Question

什么是底数，指数，幂，乘方

Answer 1

指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，an表示n个a连乘。当n=0时，an=1。
中文名
指数
外文名
exponential[2]
归属学科
数学
基本释义
幂运算an中的a的次数
书写
指数位于底数的右上角
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定义幂运算对数运算指数函数故事发展历程TA说
定义
指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。
当指数
时，
当指数
，且n为整数时，
当指数
时，
当指数
时，称为平方
当指数
时，称为立方
幂运算
幂运算（指数运算）是一种关于幂的数学运算。同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。幂的幂，底数不变，指数相乘。下面a≠0。
1）
2）
3）
4）
5）
对数运算
如果
，即
的
次方等于
(
且
)，那么数
叫做以
为底
的对数，记作
其中，
叫做对数的底数，
叫做真数，
叫做“以
为底
的对数”。由此可见，在某种情况下(底数>0，且不为1)，指数运算中的指数可以通过对数运算求解得到。
指数函数
一般地，形如
(
且
)(
)的函数叫做指数函数(exponential function) ，也就是说以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。
指数函数图像如图1所示：
图1
故事
曾经有人问爱因斯坦，世界上什么事情最可怕？爱因斯坦说：“复利最可怕。”
复利就是将本金按一定利息存入银行，到期将利息计入本金继续存入银行，本利不断增加。如果本金为
，年利息率为
，
年后可以从银行取出的钱为
。一般年利率
不会超过15%，而指数项，即存入银行的年限
却增长很快，当
足够大时，本利相加会达到极其大的值。纽约曼哈顿地区是早期移民以价值200美元的珠宝从印地安人手中买下的，如果当初将200美元存入银行，至今本息比曼哈顿的全部房产价值还要高。如果存入银行1000元，年利率5%，若计复利的话，那么200年后的便可以从银行取到
元，即
元。
传说在古印度有位国王要赏赐一位宰相，就问宰相想要什么，宰相拿出一张国际象棋的棋盘。笑着说，我只求您给我一些麦粒，在第一个格子里放一粒（
），第二格子里放两粒（
），第三个格子里放四粒（
），也就是第
个格子里放
粒，直到每个格子的麦粒放好．国王以为这太简单了，就爽快地答应了。可是等到真要执行这个诺言时国王却不得不反悔了．这是为什么呢？国际象棋棋盘共有64个格，按宰相的要求总共需要的麦粒数为等比数列
的和，即为
粒。若1公斤麦粒5万粒，那么总共需要的麦粒为
吨。这些麦粒也许把全国的麦子全拿来都不够，国王怎么可能答应呢？
不管是复利的可怕还是宰相的狡猾，都是因为其中含有共同的关键因素——指数项
，是指数项
的奇妙作用，使得看似简单的事情令人吃惊。[1]
发展历程
指数与幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的指数符号( Sign of power) 的种类繁多，且记法多样化。
我国古代“幂”字至少有十各不同的写法。
刘徽为《九章算术》作注，在《方田》章求矩形面积法则中写道：“此积谓田幂，凡广从相乘谓之幂( 长和宽相乘的积叫作幂) 。”这是第一次在数学文献上出现幂。
《准南子·天文训》讲到乐律，有这样几句话：“故黄钟之律九寸，而宫音调；因而九之，九九八十一，故黄钟之有选举权立焉......十二各以三成，故置一而十一三之，为积分十七万七千一百四十七，黄钟大数立焉。”可翻译如下：发出黄钟音律的管长 9寸，它的音调叫作宫。用 9 去乘它得81。81 这个数叫作黄钟数。12 律的每一个是根据三分损益这个原则造成的。所以将 3 乘了11次，得到的积，分管长 177147等份，这177147 叫作黄钟大数，以别于黄钟数81。很明显，“置一而十一三之”就是乘方运算，11 就是指数。整句话包含式子
，具有指数的初步概念。
1607 年，利玛窦和徐光启合译欧几里得的 《几何原本》，在译本中徐光启重新使用了幂字，并有注解：“自乘之数曰幂。”这是第一次给幂这个概念下定义。
至十七世纪，具有“现代”意义的指数符号才出现。最初的，只是表示未知数之次数，但并无出现未知量符号。比尔吉则把罗马数字写于系数数字之上，以表示未知量次数。其后，开普勒等亦采用了这符号。罗曼斯开始写出未知量的字母。1631 年，哈里奥特( 1560-1621) 改进了韦达的记法，以 aa表示
, 以aaa 表示
。1636 年，居于巴黎的苏格兰人休姆( James Hume) 以小罗马数字放于字母之右上角的方式表达指数，如以
表示
，该表示方式除了用的是罗马数字外，已与指数表示法相同。笛卡儿( 1596-1650) 以较小的印度阿拉伯数字放于右上角来表示指数，是现今通用的指数表示法。[1]
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参考资料
[1]  佘淮青. 指数与对数发展简史[J]. 池州学院学报, 2006, 20(5):9-10.
[2]  数学专用术语中英文对照．百度文库  [引用日期2021-07-11]
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Answer 2

乘方是指将某个量或符号提升到任意指定次幂或对它施加一个指定指数的行为或过程；或n 个 a 相乘的积称为 a 的 n 次幂。

Answer 3

幂的乘方底数不变，指数相乘。幂（power）是指乘方运算的结果。n^m指该式意义为m个n相乘。把n^m看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方。

求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)。其中，a叫做底数(basenumber)，n叫做指数(exponent)。当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”。

Answer 4

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