Question

已知抛物线y ²=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求｜PA｜+｜PF｜的最小值。

并求出最小值时P的坐标。求具体过程。谢谢！

Answer 1

设抛物线的准线为L :方程为 x=-1/2
|PF|=P到准线的距离
所以 ｜PA｜+｜PF｜=|PA|+P到准线的距离
利用平面几何知识，点到直线的垂线段最短
所以 过A作准线的垂线，与抛物线的交点为所求P点，此时 |PA|+|PF|最小
所以 P的纵坐标为2，解得横坐标也为2
所以 最小值=A到准线的距离=3+1/2=7/2
此时 P的坐标为（2, 2）

Answer 2

y ²=2x的焦点为（1/2，0）
准线x=-1/2
点P到准线距离PB
过点A做直线y=2，交准线于B
AB即为所求
此时PA+PF=PA+PB=AB=1/2-(-1/2)=1
将y=2代入
4=2x
x=2
点P坐标（2，2）