Question

已知f(x)为定义域在R上的奇函数，且当x<-1时，f(x+1)=-x^2+2x+2,写出f(x)的函数表达式

Answer 1

设x+1=t x<-1 x+1<0
即x=t-1 t<0
f(t)=-(t-1)²+2(t-1)+2
=-t²+2t-1+2t-2+2
=-t²+4t-1
所以f(x)=-x²+4x-1 (x<0)
已知f(x)为定义域在R上的奇函数
则f(0)=0
f(-x)=-f(x)
当x>0时 -x<0
则f(-x)=-x²-4x-1
即-f(x)=-x²-4x-1
f(x)=x²+4x+1 (x>0)
综上：f(x)=-x²+4x-1 (x<0)
=0 (x=0)
=x²+4x+1 (x>0)