Question

高二数学 基本不等式与最值 求解

1.若x＞0. 求函数y=(2x)/(x^2+1)的最大值.
2.已知0＜x＜1. 求函数y=1/x + 1/(1-x)的最小值.

Answer 1

1.∵x^2+1≥2x， x>0，∴y=(2x)/(x^2+1)≤(2x)/(2x)=1，最大值为1
2.∵x(1-x)≤[(x+1-x)/2]^2=1/4，∴y=1/x + 1/(1-x)＝1/[x(1-x)]≥4，最小值为4

Answer 2

[[[1]]]
由基本不等式可知,恒有
x²+1≥2x＞0.(条件是x＞0,故2x＞0)
∴这个连续不等式除以x²+1,可得
0＜(2x)/(x²+1)≤1
即0＜y≤1
∴ymax=1.此时x=1.
[[[2]]]
通分,可得
y=1/[x(1-x)]
啊,你是高二,就用柯西不等式吧
y=[x+(1-x)][(1/x)+1/(1-x)]≥(1+1)²=4.
等号仅当x²=(1-x)²时,即x=1/2时取得.
∴ymin=4

Answer 3

若x＞0. 求函数y=(2x)/(x^2+1)的最大值.
1/y=(x^2+1)/x=x+1/x>=2
1/Y>=2, Y<=1/2,函数y=(2x)/(x^2+1)的最大值1/2,
函数y=1/x + 1/(1-x)=1/x(1-x)=1/(-X^2+X) ### (-X^2+X)的最大值.=1/4
x(1-x)<=[x+(1-x)]^2 /4 =1/4
Y>=1/4
函数y=1/x + 1/(1-x)的最小值.1/4