Question

已知f（x）=[1/(2x次方-1)]+(1/2)]x 1.判断函数f(x)的奇偶性 2.求证:f(x)＞0 谢谢详细解析

Answer 1

1.求函数的定义域
2^x-1≠ 0 解得：x≠ 0,定义域关于原点对称。
2.讨论奇偶性
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/[2(2^x-1)]
f(-x)=-x(2^(-x)+1)/[2(2^(-x)-1)] ……分子分母同乘以2^x可得下式
=-x(2^x+1)/[2(1-2^x)]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
f(x)=f(-x)
所以是偶函数!
3求证f(x)>0
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
因：当x<0时有：2^x+1>0, 2^x-1<0 所以
x(2^x+1)/2(2^x-1)>0，即：f(x)>0
当x>0时有：2^x+1>0, 2^x-1>0 所以
x(2^x+1)/2(2^x-1)>0，即：f(x)>0
综上可知，只要x在定义域内都有f(x)>0

追问

f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/[2(2^x-1)]
请问这一步怎么化简啊？

追答

f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/[2(2^x-1)]

中括号里进行通分啊！
1/(2^x-1)+1/2=2/[2(2^x-1)] +(2^x-1)/[2(2^x-1)]
=[2+(2^x-1)] /[2(2^x-1)]
=(2^x+1)/[2(2^x-1)]

追问

f(-x)=-x(2^(-x)+1)/[2(2^(-x)-1)] ……分子分母同乘以2^x可得下式
=-x(2^x+1)/[2(1-2^x)]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
最后一步=x(2^x+1)/2(2^x-1)
不是应该等于x(2^x+1)/2(1-2^x)

追答

f(-x)=-x(2^(-x)+1)/[2(2^(-x)-1)] ……分子分母同乘以2^x可得下式
=-x(2^x+1)/[2(1-2^x)]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
↑
注意倒数第二个式子前面有个负号，-(1-2^x)=(2^x-1)
所以结果没有错误。

追问

那为什么上面的式子不用变号的？