Question

若定义在R上的函数F(X)满足:对任意X1,X2∈R有F(x1+x2)=f(X1)+f(X2)+1,下列说法一定正确的是？

1 f(x)为奇函数。2 f(x)+1为奇函数。 3 f(x)+1为偶函数

Answer 1

解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=-1
∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选2

Answer 2

令x1=x,x2=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)+1=-1
设g(x)=f(x)+1,则g(-x)=f(-x)+1
∴ g(x)+g(-x)=f(x)+1+f(-x)+1+1=0，则f(x)+1为奇函数。