Question

∫▒〖ln⁡(1+√((1+x)/x)〗)dx 主要步骤，谢谢

正确结果是 xln(1+√((1+x)/x))-1/2 ln⁡(√(1+x)+√x)+1/2 x- 1/2 √(x+x^2 )+c

Answer 1

∫ln{1+√[(1+x)/x]}dx=∫ln{[√x+√(1+x)]/√x}dx=∫ln[√x+√(1+x)]dx-∫ln(√x)dx
=xln[√x+√(1+x)]-∫{x[(1/2√x)+1/2√(1+x)]/[√x+√(1+x)]}dx-xln(√x)+∫{x[1/(2√x)]/(√x)}dx
=xln[√x+√(1+x)]-(1/2)∫{xdx/√[x(1+x)]}-xln(√x)+(1/2)∫dx
=x√(1+x)+x/2-(1/2)∫{x/√[x(1+x)]}dx=x√(1+x)+x/2-(1/2)∫√[x/(1+x)]dx
=x√(1+x)+x/2-(1/2){√[x(1+x)-ln[√x+√(1+x)]}+C
其中∫√[x/(1+x)]dx=√[x(1+x)-ln[√x+√(1+x)]，直接用了积分公式：
∫√[(a+x)/(b+x)]dx=√(a+x)(b+x)+(a-b)ln[√(a+x)+√(b+x)]，这里a=0，b=1.