Question

已知a,b,c都是正数，求证√（a2+b2）+√(b2+c2)+√(a2+c2)>=(√2)*(a+b+c)

已知a>0,b>0,求证:a2+b2大于等于(a+b)√ ab

Answer 1

【注：一个结论】
设a, b∈R,则√[2(a²+b²)≥a+b.
等号仅当a=b≥0时取得。
证明：
由基本不等式可得：
a²+b²≥2ab
∴2(a²+b²)≥a²+2ab+b²
即2(a²+b²)≥(a+b)²
两边开方，可得
√[2(a²+b²)]≥|a+b|≥a+b.
∴√[2(a²+b²)]≥a+b.
【证明】
由上面的结论可知
√[2(a²+b²)]≥a+b
√[2(b²+c²)]≥b+c
√[2(c²+a²)]≥c+a
把上面三个式子相加，整理可得
√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)≥(√2)(a+b+c)

Answer 2

重要不等式

a²+b²≥2ab
2(a²+b²)≥a²+2ab+b²
a²+b²≥(a²+2ab+b²)/2
a²+b²≥(a+b)²/2
√(a²+b²)≥√2(a+b)/2