Question

一道数学分析的题，证明凸函数

函数f(x)在区间I内有一阶导数，并且在除了有限个点外，其余点上的二阶导数的值全都大于零，证明函数在区间I内为凸函数。谢了

Answer 1

先证明一阶导数仍然是单调的。
任取a<b.假设a，b之间只有有限个点二阶导数不大于0.为a<a1<a2<,...<an<b;
那么f'(b)-f'(an)=f''(xn)(b-an)>0 (an<xn<b,所以二阶导数大于0)
类似的f'(an)-f'(a(n-1))=f''(x(n-1))(an-a(n-1))>0 a(n-1)<x(n-1)<an;
....
f'(a1)-f'(a)=f''(x)(a1-a)>0 a<x<a1;
把这n+1个式子加起来，有f'(b)-f(a)>0;
所以f‘单调递增。
接下来就和一般证明一样了。
那么设x<y
[f(x)+f(y)]/2-f((x+y)/2)=[f(y)-f((x+y)/2)]/2-[f((x+y)/2)-f(x)]/2=[f'(x1)-f'(x2)]/2*(y-x)/2>0
(x<x2<(x+y)/2<x1<y,所以f'(x1)-f'(x2)>0)

追问

这个不能保证一阶导数在an处的连续性啊，这样的话lagrange中值定理就不适用了

追答

你考虑的的确挺周全的。
(an，b)间二阶导数大于零，所以一阶导数单调递增。所以一阶导数在an+有极限（暂且可以为负无穷）
而导数具有介值性，
那么一阶导数在an处的值必然等于其在an+的极限，否则与介值性矛盾。
左侧极限也类似，所以一阶导数在an处必然连续。
其余点也一样。

追问

关于介值性那里还是不太懂，是哪里与介值性矛盾？
我想了一下，你看下这样行吗。原函数是连续的，由单调性这些间断点左右的导数都存在极限，如果极限是有限的话，导函数不存在第一类间断点所以肯定是连续的。如果极限是无穷的，也可以有类似前者的推论

追答

导函数不存在第一类间断点就是因为导函数有介值性。是导函数的介值性不是原函数的！
理由和你的一样，就是这个原因。
关于导函数的介值性，叫做darboux定理，我发消息给你了，你也可以百度这个。

Answer 2

这是高等数学的知识，找个大一或大二的学生问问应该很快就能解决的。