Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G,F分别是AD,PB的中点

（1）求证：PA⊥CD
（2）证明：GF⊥平面PCB
（3）求二面角A-PB-C的大小
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Answer 1

解：(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD,又AD⊥CD,∴CD⊥AP,

          ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA

      (2)取PC的中点M.连接GF,FM,DM,GD=1/2AD,∵点F,M分别为PB,PC的中点

      ∴FM=1/2BC,且FM//BC//GD,∴FM//GD,且FM=GD，故四边形DGFM为平行四边形

      ∴GF//DM

         RT三角形PDC,PD=DC,PM=MC，∴DM⊥PC,

     DM在平面ABCD的射影在CD上而BC⊥CD，∴DM⊥BC

    ∴DM⊥平面PBC，∴GF⊥平面PCB

(3)连接A,过点C作CN⊥PB,连接AN.

∵DB是PB在平面ABCD内的射影且AC⊥DB

∴AC⊥PB,∴PB⊥平面ANC,∴PB⊥AN,故∠ANC即为所求角

RT△ABC内AC=√2AB=2√2.RT△PBC内,PC=√2PD=2√2.BC=2.

CN=PC*BC/PB=2√6/3

同理可得AN=2√6/3

∴cos∠ANC=-1/2,∴∠ANC=120°，即所求角为120°。