Question

一道大学导数题

第8题

Answer 1

当x≠0时，令t=1/x，则x=1/t，x左边趋向于0时，t趋向于负无穷大，x右边趋向于0时，t趋向于正无穷大。
(x^m)*sin(1/x)=(sint)/(t^m)。
当m≠0时，
x左边趋向于零时，sint在正负一之间无穷震荡，但不会超过1，即有界，而t^m趋向于负无穷大，所以上式的极限等于0。
同理x右边趋向于0时，上式的极限趋向于0。
显然此时函数在x=0处是连续的。
当m=0时，原函数等于sin(1/x)，这个函数原本就在x=0处不连续。
所以存在不等于0的实数m使得函数在x=0处连续。
当m≠0时，连续，连续则可导。
当m=0时，同理不连续则不可导。