Question

求齐次方程xy'-y-√（y^2-x^2)=0，我想问这个求解的时候分x>0和x<0两种情况么？

求齐次方程xy'-y-√（y^2-x^2)=0，我想问这个求解的时候分x>0和x<0两种情况么？我分X>0和x<0情况所求结论不一样。

Answer 1

需要分类讨论的，

两种情况结果是不一样的

Answer 2

求微分方程 xy'-y-√(y²-x²)=0 的通解
解：xy'-y=√(y²-x²); 两边同除以y得：(x/y)y'-1=√[(1-(x/y)²]..........①；
令x/y=u，则y=x/u；故y'=(u-xu')/u²；代入①式得：[u(u-xu')/u²]-1=√(1-u²);
化简得：-xu'/u=√(1-u²); xu'=-u√(1-u²)
分离变量得：du/[u√(1-u²)]=-dx/x； 取积分得：∫du/[u√(1-u²)]=-∫dx/x；
令u=sint，则du=costdt；于是有：∫dt/sint=ln(sect-cott)=-ln∣x∣+lnc=ln(c/∣x∣);
故得：sect-cott=c/∣x∣；由sint=u得sect=√(1-u²)；cott=[√(1-u²)]/u；
代入得：√(1-u²)-[√(1-u²)]/u=c/∣x∣；即[1-(1/u)]√(1-u²)=c/∣x∣
再代入u=x/y得：[1-(y/x)]√[1-(x/y)²]=c/∣x∣
化简即得原方程的隐性通解为：[(x-y)/xy]√(y²-x²)=c/∣x∣
【无需分x>0和x<0两种情况；∵x的符号都在ln∣x∣内了。】

Answer 3

都要分的，最后还要总结出来，中间那个平方没事，但是最前面那里就涉及到±了

追问

说的啥

追答

要分大于小于0两种，也可以把等于0考虑进去
最后用大括号总结一下就可以了