Question

急急急，求如图,四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,△ABC为棱长为2的正三角形,BE=2CD=2，BE⊥BC,CD⊥BC。

（1）求证：AE⊥BD
(2)求二面角B-AD-C的余弦值

Answer 1

1、取BC中点F，连结AF和EF，EF和BD交于M点，
∵平面ABC⊥平面BCDE，
△ABC为正△，AF⊥BC，
∴AF⊥平面BEDC，
∵BD∈平面BEDC，
∴AF⊥BD，
在平面BEDC中，
∵BE=BC=2，
BF=BC/2=CD=1，
〈BCD=〈EBF=90°，
∴RT△BDC≌RT△EFB，
〈CBM（D）=〈BEF，
〈CBD+〈DBE=90°，
∴〈DBE+〈BEF=90°，
∴〈BME=90°，
∴EF⊥BD，
∵AF∩EF=F，
∴BD⊥平面ABD，
∵AE∈平面AEF，
∴BD⊥AE。
2、取AC中点N，连结DN、BN，
∵平面ABD⊥平面BEDC，
CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD∈平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD，
∵△ABC是正△，
∴BN⊥AC，
∴BN⊥平面ACD，
△AND是△ABD在平面ACD上投影，
设二面角B-AD-C平面角为θ，
S△AND=S△ABD*cosθ，
AD=√（AC^2+DC^2）=√5，
BD=√5，
△ABD是等腰△，
在△ABD上作DH⊥AB，（H是垂足）
DH=√（5-1）=2，
S△ABD=AB*DH/2=2*2/2=2，
S△AND=S△ACD/2=（CD*AC/2）/2=（2*1/2）/2=1/2，
1/2=2*cosθ,
cosθ=1/4.
∴二面角B-AD-C的余弦值为1/4。

追问

可以用向量法再做一下吗？

追答

以BC中点F为原点建立空间坐标系，把对应点坐标变换成向量，

追问

我要的具体过程啊！请详细一点

追答

以B为原点，BE为X轴，BC为Y轴，垂直BEDC平面正方向为Z轴，建立空间坐标系，
B（0，0，0），
E（2，0，0），
C（0，2，0），
D（1，2，0），A（0，1，√3），
向量AE=（2，-1，-√3），
向量BD=（1，2，0），
向量AE·BD=2-2+0=0，
∴AE⊥BD。
2、设平面ABD法向量n1=(x1,y1,1),
向量AB=（0，1，√3），
BD·n1=x1+2y1=0,
AB·n1=y1+√3=0，
y1=-√3，
x1=2√3，
n1=(2√3，-√3，1），
设平面ACD法向量n2=(x2,y2,1),
向量AC=（0，1，-√3），
AD=（1，1，-√3）,
AC·n2=y2-√3=0，
y2=√3，
AD·n2=x2+y2-√3=0，
x2=0.
n2=(0,√3，1），
|n1|=√（12+3+1）=4，,
|n2|=2，
n1·n2=-3+1=-2,
设二法向量夹角为θ，
cosθ=n1·n2/(n1|*|n2|=-2/(4*2)=-1/4,
取其补角，则二平面平角余弦为1/4。