Question

数列计算

已知数列{an}满足：a1+a2+a3+。。。+an=n-an，（n=1,2,3....)
（1）求a1，a2，a3
（2）求证：数列{an-1}是等比数列
（3）令bn=（2-n）（an-1）（n=1,2,3....)，如果对任意n∈N+，都有bn+（1/4t）≤t^2，求实数t的取值范围。

Answer 1

解：（1）将n=1带入得到a1=1/2，再将n=2带入得到a2=3/4，再将n=3带入得到a3=7/8。
（2）由前三项猜想an=1-1/2^n,带入题目中等式验证符合条件，故an=1-1/2^n。所以an-1=-1/2^n，所以{an-1}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
（3）bn=（2-n）（-1/2^n）=（n-2）/2^n，当n为正整数时有bn<=1/8（n=4或3时取到最大值）,故只需1/8+（1/4t）<=t^2即可，解不等式得到：t>=1/2或者t<=-1/4.

Answer 2

1
a1=1-a1
a1=1/2
a1+a2=2-a2
2a2=2-1/2
a2=3/4
a1+a2+a3=3-a3
2a3=3-5/4
a3=7/8

2
a1+a2+a3+..+an=n-an
a1+a2+a3+..+an-1=(n-1)-an-1
an=(n-an)-[(n-1)-an-1]
=1+an-1-an
2an=1-an+an-1
2an-1=an-1
2an-2=(an-1-1)
2(an-1)=(an-1-1)
(an-1)/(an-1-1)=1/2
{an-1}等比

3
{an-1}等比
a'n=an-1
a'1=1/2-1=-1/2
a'n=(-1/2)*(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n
an=1-an'=1-(1/2)^n
bn=(2-n)(an-1)
=(2-n)*[-(1/2)^n)]
b1=-1/2
b2=0
b3=1/8
b4=1/8
b5=3/32
n>5, bn<1/8
bn+(t/4)<= t^2
bn<=t^2-t/4
1/8<=t^2-t/4
(t-1/8)^2>=9/64
t-1/8<=-3/8 t-1/8>=3/8
t<=-1/4 t>=1/2