Question

设f(x)为可导函数，且满足lim[f(1)+f(1-x)]/2x=-1,x趋于0时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的斜率

要详细解题过程

Answer 1

由题，设1-x=t，则lim[1+f(t)]/2(1-t)=-1,t趋向于1
因此可知，limf(t)=-1,t趋向于1；又因为f（x）可导，故其连续，故f（1）=-1。
同时，上极限式可变为：lim[f（t）-f（1）]/(t-1)=1/2，t趋向于1，利用导数的定义可知，f'(1)=1/2
故（1，f（1））处的斜率为f'(1)=1/2，通过（1，-1）
其切线方程为:y+1=1/2(x-1),即y=1/2x-3/2
另，该式不能用洛必达法则，因为没有导函数连续的条件