Question

设F1，F2分别是椭圆左右焦点,P是该椭圆上的点，且PF1⊥PF2，求P点坐标

Answer 1

设椭圆方程为X^2/a^2+y^2/b^2=1
PF1⊥PF2,设|PF1=m,|PF2|=n,则m²+n²=4c²,
由椭圆定义m+n=2a
∵ (m+n)²-2mn=m²+n²,
∴ mn=2(a²-c²)
即mn=2b²。
设点P的坐标为(s,t),
三角形PF1F2是直角三角形，
它的面积=1/2*mn=1/2*|F1F2|*|t|
即b²=c*|t|, t=±b²/c.
因为点P在椭圆上，则有s^2/a^2+t^2/b^2=1,
s²/a²+ b²/c²=1,所以s=±a√(1- b²/c²).
∴点P的坐标为(±a√(1- b²/c²),±b²/c).

追问

sorry,由于我的疏忽漏打了椭圆方程：x²／4＋y²=1,能不能再算一下？

追答

x²/4+y²=1的左右焦点坐标分别是F1(-√3,0)，F2(√3,0).
设P(x,y)，
PF1⊥PF2，
则y/(x-√3)*y/(x+√3)=-1
所以x²-3+y²=0,……①
因为x²/4+y²=1，所以y²=1- x²/4，……②
①②联立可解得
P共有4个点，(1):x=2√6/3,y=√3/3,
(2):x=-2√6/3,y=√3/3,
(3):x=2√6/3,y=-√3/3,
(4):x=-2√6/3,y=-√3/3.