Question

在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A＋∠B＝90．E，F分别AB，CD中点，求证EF＝1/2（AB-CD）

Answer 1

作DM//BC，交AB于M，作DN//EF，交AB于N，

则四边形DCBM是平行四边形，四边形DFEN也是平行四边形，

BM=CD，NE=DF=CD/2，

MN=ME+NE=BE-BM+DF=AB/2-CD+CD/2=（AB-CD）/2，

AN=AE-NE=AB/2-DF=AB/2-CD/2=（AB-CD）/2，

∴AN=MN，

N是AM中点，

∵DM//CB，

∴《DMA=〈B，（同位角相等），

∵〈A+〈B=90°，

∴〈A+〈DMA=90°，

△DAM是RT△，

N是RT△DAM斜边的中点，

∴DN=AM/2=（AB-CD）/2，

∴EF=（AB-CD）/2。

Answer 2

在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A＋∠B＝90°．E，F分别为AB，CD的中点；
求证EF＝(1/2)(AB-CD)
证明：延长AD和BC，使之相交于P，再连接PE，则在△PAB中，PE是AB上的中线；又因为
CD∥AB，故PE与CD的交点就是CD的中点F。
由于∠A＋∠B＝90°，所以∠APB=90°，即△PAB是RT△，当然△PDC也是RT△；故PE是
斜边AB上的中线，∴PE=(1/2)AB；同理，PF是斜边DC 上的中线，故PF=(1/2)CD；
∴EF=PE-PF=(1/2)(AB-CD) ，故证。

Answer 3

证明：
作FM//DA,交AB于M；作FN//CB,交AB于AB
则∠FME=∠A，∠FNE=∠B
∵AB//CD
∴四边形AMFD和BCFN都是平行四边形
∴DF=AM，CF=BN
∵AE=BE，DF=CF
∴ME=NE
∵∠A+∠B=90º
∴∠FME+∠FNE=90º
∴∠MFN=90º
∴⊿MFN是直角三角形，且EF是斜边的中线
∴EF=½MN
∵MN=AB-CD
∴EF=½（AB-CD）

Answer 4

证明：
作FG‖AD，交AD于点G，FH‖BC，交AB于点H
则四边形 ADFG和四边形BCFH都是平行四边形
∴AG=DE，HB=EC
∵E，F分别为AB、CD的中点
∴GH=AB-CD
∵∠A+∠B=90°
∠A=∠FGE，∠B=∠FHE
∴∠GFH=90°
∴FE是Rt△FGH的斜边中线
∴EF=1/2GH=1/2(AB-CD)