Question

椭圆C：x^2/a^2+y^2=1（a〉1）,右焦点F，过F做倾斜角为45°的直线交椭圆于AB两点，

若向量AF=2FB，求椭圆方程

Answer 1

设直线AB交椭圆的右准线于点G，
作点A、B、F到椭圆的右准线的垂线，垂足分别为C、D、E；
则有：GC/GD = AC/BD = AF/BF = 2 ，CE/DE = AF/BF = 2 ，
可得：CE = 2DE ，GD = CD = CE+DE = 3DE ，GC = 2GD = 6DE ，GE = GD+DE = 4DE ，
所以，BD/EF = GD/GE = 3/4 ；

设右焦点F的坐标为 (c,0) ，
则有：a² = c²+1 ，椭圆的右准线为 x = a²/c = (c²+1)/c = c+1/c ；
所以，EF = c+1/c-c = 1/c ，BD = (3/4)EF = 3/(4c) ，
可得：点B的横坐标为 c+1/c-3/(4c) = c+1/(4c) ；

依题意，△GBD、△GFE 都是等腰直角三角形，
所以，DE = GE-GD = EF-BD = 1/(4c) ，
可得：点B的纵坐标为 1/(4c) ；

将点B的坐标代入椭圆方程，可得：[c+1/(4c)]²/a²+[1/(4c)]² = 1 ，
将 a² = c²+1 代入可得：[c+1/(4c)]²/(c²+1)+[1/(4c)]² = 1 ，
解得：c² = 2/7 ，
可得：a² = c²+1 = 9/7 ；
所以，椭圆方程为 7x²/9+y² = 1 。

Answer 2

a²=9/7