Question

一道线性代数题的理解

是道选择题：设向量组I:α1，α2 ，...,αr可由向量组II:β1，β2 ，...βs线性表示
则答案是：若向量组I线性无关，则r≤s
有个选项有疑问：若向量组II线性相关，则r＞s为什么不对呢？
能举个反例吗？

另外，老师讲过：
1、无关向量组不能由比它个数少的向量组线性表示
2、个数多的可用少的线性表示，多的必相关
不就是暗合这两个选项吗，哪里错了呢？
请解释一下，谢谢

Answer 1

其实I能够被II表示，说明I的秩小于等于II的秩；
若I线性无关，那么r=r(I)<=r(II)<=s;
若向量组II线性相关，且I线性无关（这很重要），那上式依然成立，
而且r(II)<s,严格小于，从而r<s;
但I线性相关的话就不一定了。比如我可以让I和II完全相同啊。

总之r>=r(I)<=r(II)<=s是总成立的，I，II是否线性无关决定了第一个和最后一个不等号是严格不等号还是等号。无关，为等号，相关为严格不等号。

追问

谢了，挺好记的
有个疑问：“其实I能够被II表示，说明I的秩小于等于II的秩”
这个怎么证的啊？

追答

从直观理解上来说，秩就是说一组向量所张成的线性空间的维数。
I能被II表示，说明I都在II所张成的线性空间中。那么对于I所表示的向量，把I都用II中向量代替，就说明可以被II表示，从而I张成的线性空间属于II张成的线性空间，故维数不会比他大。

假设I中有m个线性无关向量，而II中最大线性无关组向量个数为n，m>n,那么
2、个数多的（m个）可用少的（n个）线性表示，多的必相关，也就是这m个线性相关。
从而矛盾。故I中不会有多过n个线性无关的向量组。

Answer 2

有个选项有疑问：若向量组II线性相关，则r＞s为什么不对呢？
-- 这可不对. 试想, II 线性相关, 添加若干个0向量仍线性相关, 个数可以任意多, r怎么能大于s呢.

你老师讲的没错
1、无关向量组不能由比它个数少的向量组线性表示
(I)线性无关, 且可由(II)线性表示, 所以 r<=s
即 能线性表示(I)的向量组所含向量的个数不小于r

2、个数多的可用少的线性表示，多的必相关
这是上面的另一个说法.

Answer 3

sasi