Question

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=4x焦点为F，点A、B为抛物线上异于点O的两个动点，且

向量OA乘OB=0
求证：直线AB过定点

Answer 1

设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ，则有：y1² = 4x1 ，y2² = 4x2 ，
依题意，可设直线AB的方程为 x+my = b（b≠0），
则有：x = b-my ，代入 y² = 4x ，
可得：y²+4my-4b = 0 ；
由韦达定理可得：y1y2 = -4b ，
则有：x1x2 = y1²y2²/16 = b² ；

已知，向量OA乘OB = 0 ，即有：OA⊥OB，
可得：(y1/x1)(y2/x2) = -1 ，整理得：x1x2+y1y2 = 0 ，
将 x1x2 = b² ，y1y2 = -4b 代入，可得：b²-4b = 0 ，
已知，b≠0 ，可得：b = 4 ；

因为，当 y = 0 时，x = b-my = b = 4 ，
所以，直线AB过定点 (4,0) 。

Answer 2

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